Реферат : Структура сходящихся последовательностей 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Структура сходящихся последовательностей




Удмуртский государственный университет


Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа  можно указать номер N такой, что при nN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|<.


При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+n, xn=b+n, где n и n – элементы бесконечно малых последовательностей {n} и {n}.

Вычитая данные соотношения, найдем n-n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n-n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

xn=а+n,


где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |n|А. Поэтому | xn |  |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

xn=а+n, yn=b+n,


где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =n+n.

Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.


Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

xn=а+n, yn=b+n,


где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =n-n.

Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+n, yn=b+n и xnyn=ab+an+bn+nn. Следовательно,

xnyn-аb=an+bn+nn.


(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {an+bn+nn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xnyn-аb} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xnyn} сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть . Так как b0, то >0. Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство:

|yn-b|< или |yn-b|<


из этого неравенства следует, что при nN выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при nN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+n, yn=b+n, то

.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnb (xnb), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb (ab).

Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {xn}, то для положительного =b-a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство

|xn-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<xn-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b, а это противоречит условию теоремы. Случай xnb рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако .

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn  уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как аxnb, то acb.

ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а  yn-а  zn-а. Отсюда следует, что при nN’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

|yn-a|  max {|xn-a|, |zn-a|}.


Так как и , то для любого >0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nN1 |xn-a|<, а при nN2 |zn-a|<. Итак последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

  1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n, что n>. Поэтому для всех nn, а это означает, что .

  1. Последовательность сходится и , что следует из того, что

, и того, что .

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

(m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань  конечна. Пусть >0 и +. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0, имеем:

an=aqm+ram+am+…+am+ar=qam+ar,

,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

,

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a1|+2-1+2-2+2-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2m+12m-1+22m-2+…+m (1, 2, …, m = 0 или 1)

согласно предположению

.

Применяя теорему (1) для данных:

s0=0, s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,

, pn, m+1=0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-, m+, m+2, …, M-2, M-, +.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<. Пусть, далее, sn1 (n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

.

Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1  v2  v3 … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … , ln-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть n – наименьший номер, для которого ln<. Тогда:

n>m; ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0),

s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …

lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно:

,

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел ,… ; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть k – наименьший номер, для которого <. Тогда:

k>m; .

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n1, что n отношений


все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем . Пусть минимум последовательности

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …

Будет Ln-nA; тогда

Ln-u-(n-u)A Ln-nA; Ln+v-(n+v)A Ln-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, … предполагается лишь, что

.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А, то также n.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет условиям

,


Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А0, то также n0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.

Тогда . Последовательность

L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

стремится к -. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

1


Похожие работы:

  • Структура некоторых числовых множеств

    Дипломная работа >> Математика
    ... множество, совершенное множество, рассматривается структура таких множеств, формулируются и доказываются ... — Вейерштрасса о последовательностях). Из всякой ограниченной последовательности х1, х2, х3,… можно выделить сходящуюся последовательность , ,,… ...
  • Программная модель поиска глобального минимума нелинейных "овражных" функций двух переменных

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... Элементы класса характеризуются следующей структурой: в любой точке некоторого ... уровня J(x)=const имеют структуру, сильно отличающуюся от ... Функция со сходящейся последовательностью Рисунок 4 Функция с несходящейся последовательностью Возможен случай, ...
  • Элементы общей топологии

    Курсовая работа >> Математика
    ... Поэтому Фт = {, X} является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара ... последовательность точек хn называется сходящейся к точке х0. Теорема 4. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) сходящаяся последовательность ...
  • Курс лекций по теории вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора ... можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным ...
  • Построение систем распознавания образов

    Реферат >> Психология
    ... возрастающей, а значит и сходящейся, так как предел возрастания - “1”. Для сходящейся последовательности а значит что и требовалось ... оценке эффективности СР с конкретной детерминированной структурой моделирование завершается и рассмотренным субмодулем ...
  • Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия

    Курсовая работа >> Экономико-математическое моделирование
    ... : где , а скалярное произведение справа, с учетом структуры векторов , трактуется как прибыль всего ... , то существовала бы последовательность и точки , , для которых при (сходящаяся последовательность найдется, так как ...
  • Типы организационных структур, ресурсы организации

    Контрольная работа >> Менеджмент
    ... децентрализованная конфигурация. Основана на последовательной связи (например, структура творческой исследовательской группы: разработка ... типа базового соединения - расходящейся или сходящейся. Примером вертикального расходящегося веера является ...
  • Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

    Курсовая работа >> Математика
    ... называется непрерывным, если он любую сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся последовательность. Пример 1: Пусть Е – линейное ... близких к нему гипердействительных чисел. Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов ...
  • Интеграл Лебега

    Реферат >> Математика
    ... более, чем счетное число значений. Структура простых функций характеризуется следующей теоремой ... быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций. Доказательство. Для ...
  • Интерпретации существования в математике

    Реферат >> Медицина, здоровье
    ... построение которого, при заданной сходящейся последовательности, вовсе не требует таких ... анализа когнитивной деятельности человека. Структура математического рассуждения (как его ... тогда состоит в создании целостной структуры различимых элементов в текучей и ...