Шпаргалка : Статистика (шпаргалка 2002г.) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Шпаргалка >> Математика


Статистика (шпаргалка 2002г.)




1. Анализ рядов распределения

Ряд распределения, графики в приложении.

Группы

Частота f

S

До 10

4

4

10-20

28

32

20-30

45

77

30-40

39

116

40-50

28

144

50-60

15

159

60 и выше

10

169

Итого

169


Мода:

Медиана:

Нижний квартиль:

Верхний квартиль:

Средний уровень признака:

Группы

Частота f

x

xf

До 10

4

5

20

10-20

28

15

420

20-30

45

25

1125

30-40

39

35

1365

40-50

28

45

1260

50-60

15

55

825

60 и выше

10

65

650

Итого

169

-

5665

Средняя величина может рассматриваться в совокупности с другими обобщающими характеристиками, в частности, совместно с модой и медианой. Их соотношение указывает на особенность ряда распределения. В данном случае средний уровень больше моды и медианы. Асимметрия положительная, правосторонняя.

Асимметрия распределения такова:

< < => 27,39 31,4 33,52

Показатели вариации:

1) Размах вариации R

2) Среднее линейное отклонение

(простая)

Группы

f

x

xf

S

f

(x-)2

f(x-)2

x2

x2f

До 10

4

5

20

4

114,08

28,52

813,43

3253,72

25

100

10-20

28

15

420

32

518,58

18,52

343,02

9604,47

225

6300

20-30

45

25

1125

77

383,43

8,52

72,60

3267,11

625

28125

30-40

39

35

1365

116

57,69

1,48

2,19

85,34

1225

47775

40-50

28

45

1260

144

321,42

11,48

131,77

3689,67

2025

56700

50-60

15

55

825

159

322,19

21,48

461,36

6920,39

3025

45375

60 и в.

10

65

650

169

314,79

31,48

990,95

9909,46

4225

42250

Итого

169

-

5665

-

2032,18

121,48

-

36730,18

226625

(взвешенная)

3) Дисперсия

Другие методы расчета дисперсии:

1. Первый метод

Группы

f

x

До 10

4

5

-3

9

-12

36

10-20

28

15

-2

4

-56

112

20-30

45

25

-1

1

-45

45

30-40

39

35

0

0

0

0

40-50

28

45

1

1

28

28

50-60

15

55

2

4

30

60

60 и выше

10

65

3

9

30

90

Итого

169

-

-

-

-25

371

Условное начало С = 35

Величина интервала d = 10

Первый условный момент:

Средний уровень признака:

Второй условный момент:

Дисперсия признака:

2. Второй метод

Методика расчета дисперсии альтернативного признака:

Альтернативным называется признак, который принимает значение «да» или «нет». Этот признак выражает как количественный «да»-1, «нет»-0, это значение x , тогда для него надо определить среднюю и дисперсию.

Вывод формулы:

Признак х

1

0

всего

Частота f вероятность

p

g

p + g = 1

xf

1p

0g

p + 0 = p

Средняя альтернативного признака равна доле единиц, которые этим признаком обладают.

- Дисперсия альтернативного признака. Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком на ее дополнение до 1.

Дисперсия альтернативного признака используется при расчете ошибки для доли.

p

g

0,1

0,9

0,09

0,2

0,8

0,16

0,3

0,7

0,21

0,4

0,6

0,24

0,5

0,5

max 0,25

0,6

0,4

0,24

, W – выборочная доля.

Виды дисперсии и правило их сложения:

Виды:

1. Межгрупповая дисперсия.

2. Общая дисперсия.

3. Средняя дисперсия.

4. Внутригрупповая дисперсия.

У всей совокупности может быть рассчитана общая средняя и общая дисперсия.

1. общая и общая.

2. По каждой группе определяется своя средняя величина и своя дисперсия: a,a; б,б; i,i

3. Групповые средние i не одинаковые. Чем больше различия между группами, тем больше различаются групповые средние и отличаются от общей средней.

Это позволяет рассчитать дисперсию, которая показывает отклонение групповых средних от общей средней:

- межгрупповая дисперсия, где mi – численность единиц в каждой группе.

В каждой группе имеется своя колеблемость – внутригрупповая . Она не одинакова, поэтому определяется средняя из внутригрупповых дисперсий:

Эти дисперсии находятся в определенном соотношении. Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

- правило сложения дисперсий.

Соотношения дисперсий используются для оценки тесноты связей между факторами влияния изучаемого фактора – это межгрупповая дисперсия. Все остальные факторы – остаточные факторы.

2. Ряды динамики

Ряд динамики, график ряда динамики в приложении.

Год

Уровень

1

40,6

2

41,5

3

49,5

4

43,6

5

39,2

6

40,7

7

38,2

8

36,5

9

38,0

10

38,7

11

39,4


Средняя хронологическая:

Производные показатели ряда динамики:

- коэффициент роста, базисный

- коэффициент роста, цепной

- коэффициент прироста

- абсолютное значение одного процента прироста

Год

Уровень

Темпы роста %

Темпы прироста %

А1%

Базисные

Цепные

Базисные

Цепные

1

40,6

-

100

-

-

-

-

2

41,5

0,9

102,2167

102,2167

2,216749

2,216749

0,406

3

49,5

8

121,9212

119,2771

21,92118

19,27711

0,415

4

43,6

-5,9

107,3892

88,08081

7,389163

-11,9192

0,495

5

39,2

-4,4

96,55172

89,90826

-3,44828

-10,0917

0,436

6

40,7

1,5

100,2463

103,8265

0,246305

3,826531

0,392

7

38,2

-2,5

94,08867

93,85749

-5,91133

-6,14251

0,407

8

36,5

-1,7

89,90148

95,54974

-10,0985

-4,45026

0,382

9

38

1,5

93,59606

104,1096

-6,40394

4,109589

0,365

10

38,7

0,7

95,3202

101,8421

-4,6798

1,842105

0,38

11

39,4

0,7

97,04433

101,8088

-2,95567

1,808786

0,387

Взаимосвязь цепных и базисных коэффициентов роста:

  1. Произведение последовательных цепных коэффициентов равно базисному:

и т. д.

  1. Частное от деления одного базисного равно цепному коэффициенту:

и т. д.

Средний абсолютный прирост:

Средний годовой коэффициент роста:

1)

2)

3)

Анализ тенденции изменений условий ряда:

Анализ состоит в том, чтобы выявить закономерность.

Метод – укрупнение интервалов и расчет среднего уровня

Год

Уровень

Новые периоды

Новые уровни

1

40,6

1

43,9

2

41,5

3

49,5

4

43,6

2

41,2

5

39,2

6

40,7

7

38,2

3

37,6

8

36,5

9

38,0

10

38,7

4

39,1

11

39,4

Тенденция изображена в виде ступенчатого графика (в приложении).

Сезонные колебания:

Месяц

Годы

Ср. уровень за каждый месяц

Индекс сезонности

1998

1999

2000

1

242

254

249

248,3333

81,24318

2

236

244

240

240

78,5169

3

284

272

277

277,6667

90,83969

4

295

291

293

293

95,85605

5

314

323

331

322,6667

105,5616

6

328

339

344

337

110,2508

7

345

340

353

346

113,1952

8

362

365

364

363,6667

118,9749

9

371

373

369

371

121,374

10

325

319

314

319,3333

104,4711

11

291

297

290

292,6667

95,747

12

260

252

258

256,6667

83,96947

Индекс сезонности:

График «Сезонная волна» в приложении.

3. Индексы

Товар –представитель

базисный год

1999

текущий год

2000

стоимость

pq

p0q1

p1q0

цена

объем

цена

объем

базис.год

текущ.год

А

12,5

420

10,7

462

5250

4943,4

5775

4494

Б

3,2

2540

4,5

2405

8128

10822,5

7696

11430

В

45,7

84

55,3

97

3838,8

5364,1

4432,9

4645,2

Г

83,5

156

82,5

162

13026

13365

13527

12870

p0

q0

P1

q1

p0q0

p1q1

p0q1

p1q0

Итого

 

 

 

 

30242,8

34495

31430,9

33439,2

Индивидуальные индексы:

Товар

ip

iq

А

85,6

110

Б

140,625

94,68504

В

121,0065646

115,4762

Г

98,80239521

103,8462


Расчет индивидуальных индексов ведется по формулам:

ip = ; iq =

Общий индекс физического объема:

Iq =

Общий индекс цен:

1) Ip =

2) Ip =

3) Ip(фишер) =

Общий индекс стоимости:

Ipq =

Взаимосвязь индексов Ip , Iq , Ipq :

Ip x Iq = Ipq

(1,0975 x 1,0393) x 100 = 114,06

Влияние факторов на изменение стоимости:

Общее изменение стоимости составило:

pq =

в том числе :

- за счет роста цен на 9,75% дополнительно получено доходов:

p =

- за счет роста физического объема продаж на 3,93% дополнительные доходы получены в размере:

q =

Взаимосвязь p, q, pq :

pq = p + q

4252,2 = 3064,1 + 1188,1

Методика преобразования общих индексов в среднюю из индивидуальных:

Общие индексы – это относительные величины, в то же время, общие индексы являются средними из индивидуальных индексов, т.е. индивидуальный индекс i x, а Y . Вид общего индекса должен соответствовать агрегатной форме расчета. В этом случае сохраняется экономический смысл индекса и меняется только методика расчета.

Алгоритм :

1. Индекс физического объема

а) индивидуальный индекс физического объема:

iq =

Товар

iq

А

110

Б

94,68504

В

115,4762

Г

103,8462

б) Общий индекс физического объема:

Iq =

в)

г) Iq =

iq x (q0p0) f

Таким образом, индекс физического объема представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базового периода.

2. Индекс цен Ласпейреса Ip = ip =

Товар

ip

А

85,6

Б

140,625

В

121,007

Г

98,802


Индекс цен Ласпейреса – это средняя арифметическая из индивидуальных индексов, взвешанных по стоимости базового периода или удельному весу.

3. Индекс цен Пааше

а) Индивидуальный индекс цены

ip = б) Ip = в) p0 = Ip = Индекс цен Пааше является средней гармонической величиной из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости текущего периода.

7вопрос Относительные величины

Статистика широко применяет относительные величины, потребность в которых возникает на стадии обобщения. Они помогают установить закономерности, в них заключен «молчаливый вывод»; являются самостоятельными статистическими показателями и имеют самостоятельную широкую сферу применения, например, уровень рождаемости, естественного прироста населения, рентабельность и т.д.

Относительная величина – это статический показатель, полученный путем сопоставления двух других величин (абсолютных, средних и других относительных).

При пользовании относительными величинами следует применять достаточное для целей исследования число значащих цифр. Поэтому существуют различные способы выражения относительных величин. Если сравниваемая величина больше базы y1 > y0, то удобно пользоваться коэффициентом К = у1/у0. Если между уровнями у1 и у0 различия абсолютных величин невелики, то удобно применять децили и проценты: Δ = 10 (у1/у0); Т = 100 (у1/у0). Если уровень у1 значительно меньше базы, то удобно применять промилле и продецимилле: П = 1000 (у1/у0); П´ = 10000 (у1/у0).

Например, рост цен может быть измерен и коэффициентом, и процентом (рост в 2,1 раза или 103,15%), рождаемость и естественный прирост определяют на 1000 чел. населения и т.д.

2.2. Виды относительных величин

В зависимости от характера сравниваемых абсолютных величин можно выделить два типа относительных величин. Если сравниваются две абсолютные величины, имеющие одинаковые единицы измерения, то относительная величина показывает «отношение» и является безразмерной. Если сравниваются две абсолютные величины, у которых единицы измерения не совпадают, то относительные величины имеют размерность.

Относительная величина структуры определяется как отношение числа единиц f или значения признака у изучаемой части к общему числу Σf: W = f / Σf;

Относительная величина координации показывает отношение численности единиц одной части совокупности к численности единиц другой.

Изменение уровня изучается во времени относительной величиной динамики. Например, уровень показателя 1999 г. (у1) сравнивается с уровнем того же показателя по тому же объекту 1990 г. (у0): К1 = у1/у0.

Прогнозируемый уровень сравнивается с существующим – относительная величина прогноза: Кпр = упр/у0.

Изменение уровня изучается по сравнению с предварительным прогнозом (нормой, планом) – относительная величина выполнения прогноза: Кв. пр. = у1/упр.

Относительная величина интенсивности представляет собой сравнение двух разных статических показателей, которые имеют размерность. К таким показателям относится плотность населения, автомобильных дорог и т.д.

Относительными величинами также являются индексы: биржевые, социальные, сезонности и т.д.

iр = р10; iq = q1/q0; iz = z1/z0 и т.д.

Тема 3. Средние величины и показатели вариации

3.1. Сущность и значение средних величин

Средняя величина отражает типичные размеры признака, характеризует качественные особенности явлений в количественном выражении.

Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для всех единиц качественно однородной совокупности.

К. Маркс отметил: «Средняя величина – всегда средняя многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

Понятие степенной средней, формула расчета, виды средних величин и область их применения, правило мажорантности средних

Степенная средняя – это такая величина, которая рассчитана по индивидуальным значениям признака, возведенным в степень К, и приведена к линейным размерам:

В зависимости от показателя степени К средняя может быть гармонической (К = -1), арифметической (К = 1), геометрической (К = 0), квадратической (К = 2), кубической (К = 3), биквадратической (К = 4). Каждая средняя обладает определенными свойствами и имеет свою сферу применения.

Е
сли К = 1, то средняя является арифметической:

где n - число наблюдений.

Массовые по численности совокупности обобщаются в виде ряда распределения. Характер распределения, частота повторения каждого признака оказывает влияние на среднюю, которая называется средней взвешенной:

где f - частота повторения признака (статический вес).

Если К = -1, средняя является гармонической. Это величина, обратная простой средней арифметической:

Средняя гармоническая взвешенная определяется:

где ΣW - суммарное значение признака.

Если К = 0, то средняя является геометрической. Эта величина, полученная как корень m-й степени из произведения значений признака:



Взвешенная -

Если К = 2, то средняя является квадратичной:

Простая -

Взвешенная -

и т.д.

Если для одного и того же первичного ряда вычислить различные степенные средние, то чем больше показатель степени К, тем больше абсолютное значение средней:

Правило называется мажорантности степенных средних.

3.3. Свойства средней арифметической

Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.

  1. Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число.

  2. Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же величине.

  3. Средние суммы или разности равны сумме или разности средней:

  1. Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя уменьшается на это значение.

  2. Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d раз.

  3. Сумма отклонений значения признака равна 0.

  4. Сумма квадратов отклонений

3.4. Расчет моды и медианы

Модой (М0) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному варианту так называемого модального интервала.

где хМ0 - нижняя граница модального интервала;

iM0 - величина модального интервала;

fM0 - частота, соответствующего модального интервала;

fM0-1 - частота, предшествующая модальному интервалу;

fM0+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

где хме - нижняя граница медианного интервала;

ime - величина медианного интервала;

Σf/2 - полусумма частот ряда;

Σfmе-1 - сумма накопительных частот, предшествующих медианному

интервалу;

f - частота медианного интервала.

Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части. Различают нижний квартиль Q1, медиану Ме и верхний квартиль Q3.

где xmin - минимальные границы квартильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

ΣfQf-1; ΣfQ3-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих

квартильным;

fQ1; fQ3 - частоты квартильных интервалов

Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:

где xmin - минимальные границы децильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

ΣfОf-1; ΣfО2-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих

децильным;

fD1; fD3 - частоты децильных интервалов

3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии. Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило сложения дисперсий

Способность признака принимать различные значения называют вариацией признака. Для измерения вариации признака используют различные обобщающие показатели – абсолютные и относительные.

  1. Размах вариации – это разность максимального и минимального значений признака: R = хmax - хmin.

  2. Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений отклонений признака от своей средней:

  1. Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е. дисперсия:

Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней

или - простая

- взвешенная

Дисперсия может быть определена методом условных моментов. Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака от какой-либо величины А: если А = 0, то момент называется начальным; если А = , то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.

В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем:

  1. Выбор условного нуля С;

  2. Преобразование фактических значений признака х в упрощенные х´ путем отсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз:

  3. Расчет 1-го условного момента:

  4. Расчет 2-го условного момента:

  5. Расчет 1-го порядка начального момента:

  1. Дисперсии

Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии = 2

Относительные величины вариации

  1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

  2. Относительное линейное отклонение:

  3. Коэффициент вариации:

  4. Коэффициент асимметрии:

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

  1. Общая дисперсия:

где - общая средняя всей совокупности

  1. Межгрупповая дисперсия:

где - средняя по отдельным группам

  1. Средняя внутри групповых дисперсий

Общая дисперсия равна сумме из межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Дисперсия альтернативного признака.

Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц, не обладающих им

Тема 4. Ряды динамики

4.1. Понятие о рядах динамики, виды рядов динамики

Ряды динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Ряды динамики бывают:

  1. В зависимости от времени – моментные и интервальные ряды.

  2. От формы представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин.

  3. От расстояния между датами – полные и неполные хронологические ряды.

  4. От числа показателей – изолированные и комплексные ряды.

4.2.Производные показатели рядов динамики

Показатели

Базисный

Цепной

Абсолютный прирост

уi – у0

уi – уi-1

Коэффициент роста (Кр)

уi : у0

уi : уi-1

Темп роста (Тр)

(уi : у0) · 100

(уi : уi-1) · 100

Коэффициент прироста (Кпр)

Кр – 1; уi – у0

у0

Δбаз : у0

Кр – 1; уi – уi-1

уi-1

Δцеп : уi-1

4.3. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста

Темп прироста (Тпр)

Кпр · 100 : Тр - 100

Кпр · 100 : Тр - 100

Абсолютное значение 1-го процентного прироста (1%А)

у0 : 100

уi-1 : 100; Δ : Тпр

уi - уi-1

Тр - 100

Соотношения: у2/у1 · у3/у2 · у4/у3 · у5/у4 = у5/у1 у4/у1 : у3/у1 = у4/у3

4.4. Средние показатели ряда динамики

Если ряд динамики интервальный и содержит все последовательные уровни, то средний уровень определяется как средняя арифметическая величина: Если ряд динамики моментный с одинаковыми промежутками времени между датами, то средняя хронологическая определяется как простая арифметическая:

А если с разновеликими интервалами между датами, то как средняя арифметическая взвешенная по времени: где t - время, в течение которого уровень не менялся Средний абсолютный прирост: Средний темп роста:

Средний темп прироста:

4.5. Измерение сезонности явлений.

Индексы сезонности. Построение сезонной волны

  1. Метод простых средних:

а) определяется средняя хронологическая для каждого месяца б) средняя хронологическая общая: Индекс сезонности:

  1. Метод сравнения фактического и сглаженного уровней а) метод скользящего среднего уровня:

б) метод аналитического выравнивания:

Колеблемость уровня ряда измеряется средним отклонением индекса сезонности iсез от 100%: Среднее квадратичное отклонение

4.6. Выравнивание рядов динамики

Выравнивание рядов динамики производят одним из способов:

а) Механическое выравнивание состоит в укрупнении интервала времени и расчете средней хронологической

б) Аналитическое выравнивание – это описание тенденций с помощью подбора адекватной модели, представляющей математическую функцию зависимости среднего уровня от времени: По уравнению прямой:

где a0 и а1 - это параметры уравнения, которые рассчитываются на

основе фактических данных методом наименьших квадратов

- это условное время принятое от какой-то базы.

Выравнивание может выполняться по параболе 2-го порядка: а0, а1, а2 -параметры, определяемые с помощью системы уравнений:

если Σt = 0, то Σt3 = 0

Если применяется показательная функция, то уравнения взаимосвязи следующая: , для решения такой модели переходят к логарифмам:

Это уравнения прямой для логарифмов уравнений, поэтому выравнивание осуществляется аналогично прямой, но предварительно определяются логарифмы

При выборе модели можно руководствоваться правилами

  1. , если абсолютные приросты колеблются около постоянной величины, то можно использовать модель прямой линии

Δy = уi - уi-1; а0 - база; а1t - прирост.

  1. , если приросты приростов, т.е. ускорение колеблется около постоянной величины, то можно использовать параболу 2-го порядка: а0 - база; а1t - прирост; а2t2 - ускорение (Δу2 – Δу1)

  2. - ср. коэффициент роста, если ежегодные темпы роста примерно постоянны, то можно использовать модель показательной функции.

6. Индексы

6.1. Понятие индекса, индивидуальные и общие индексы, различие между ними

Индекс – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц, которая показывает изменение изучаемого явления:

Бывают индексы общими и индивидуальными.

1. Общий индекс цен в агрегатной форме:

а) - индекс Пааше б) - индекс Ласпейреса

    1. Агрегатный индекс физического объема

    1. Общий индекс

2. Индексы как средние величины:

    1. Индекс физического объема

    2. Индекс цен Пааше Индекс цен Ласпейреса:

  1. Индекс цен переменного и постоянного состава

3.1.Индекс переменного состава:Индекс постоянного состава: Индекс структурных сдвигов

Похожие работы: