Реферат : Система Лотка-Вольтерра 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Система Лотка-Вольтерра




Вариант № 7

Задание:

  1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

  2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

  3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

  4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

  5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

  1. Вводим новые переменные x Ax, y By, t Tt и переписываем систему:

  1. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

P

Q

  1. Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

Область 1:

Область 2:

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3:

Точка Р – седло

в) точка Q:

Область 1:

Область 2:

Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3, где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

\Область

Точка

1

2

3

3 – 3

O

сток

сток

сток

сток

P

не сущ.

исток

седло

седло

Q

не сущ.

не сущ.

исток

неуст. фокус

4.1 Параметрические области системы

    1. Область 1:

4.3 Область 2:

    1. Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).

Похожие работы:

  • Регуляторные системы и ритмические явления в клетке

    Реферат >> Биология
    ... совершать колебания, – это система ЛоткаВольтерра. Подобные кинетические схемы, интересные ... которые станут вслед за Вольтерра приписывать взаимодействиям между хищником ... математическая процедура многим обязана методологии Вольтерра и Пуанкаре, а также ...
  • Графика в системе Maple V

    Доклад >> Информатика, программирование
    ... 50 показано решение системы дифференциальных уравнений х- (t)=x(t)*(l-y(t)) у' (t)=0,3*y(t)*(x(t)-l), описывающих модель Лотка-Вольтерра при заданных ... Рис. 13.50. Решение системы дифференциальных уравнении Лотка-Вольтерра с выводом в виде графика векторного ...
  • Качественное исследование модели хищник-жертва

    Курсовая работа >> Математика
    ... взаимодействие популяций, называются уравнениями ЛоткиВольтерра. Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - ... двух дифференциальных уравнений: Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты , , - ...
  • Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

    Реферат >> Математика
    ... - концентрация вещества . Это система ОДУ Лотки. 2.1.2 Осцилляция популяций в системе «хищник-жертва» Первая экологическая ... предложены в лекциях Вольтерры [1]. В связи с этим, уравнения Лотки (5) называют часто уравнениями Лотки-Вольтерра. И все же ...
  • Диссипативные структуры

    Реферат >> Физика
    ... сопоставлением поведения этнической системы и диссипативной структуры ... Лотки-Вольтерра. Это же уравнение описывает незатухающие концентрационные колебания в химических системах ... . С точки зрения неравновесной термодинамики, процесс Лотки - Вольтерра ...
  • Траектория экологической мысли. На пути к современному пониманию биосферы

    Статья >> Наука и техника
    ... Теоретические исследования, которые выполнили Лотка и Вольтерра, привлекли внимание молодого советского ... такие жёстко скоррелированные системы высочайшей сложности со ... угрожающие существованию любой сложно организованной системы. И в этом смысле биосферу ...
  • История возникновения экологии как самостоятельной науки

    Реферат >> Экология
    ... неизбежно вытесняет другой. Теоретические исследования Лотки и Вольтерры заинтересовали молодого московского биолога Г. Ф. Гаузе ... ). Однако в деталях представление о биосфере, как о системе биогеохимических циклов, основной движущей силой ...
  • Колебательные химические реакции

    Курсовая работа >> Химия
    ... изобилие травы – пищи жертв. Уравнения Лотки усовершенствовал В. Вольтерра. А современную теорию колебаний разработали ... , завершается; бромид-ион удаляется из системы. В результате система возвращается к состоянию, в котором находилась ...
  • Колебательные химические реакции - как пример самоорганизации в неживой природе

    Реферат >> Химия
    ... изобилие травы – пищи жертв. Уравнения Лотки усовершенствовал В. Вольтерра. А современную теорию колебаний разработали ... , завершается; бромид-ион удаляется из системы. В результате система возвращается к состоянию, в котором находилась ...
  • История науки экологии

    Реферат >> Экология
    ... вместе с обезьянами и полуобезьянами. В системе Линнея человек получил свое научное ... парадигма (господствующая теоретическая концепция, система взглядов) доминирует, а в ... особей. Это модельные уравнения А. Лотки, В. Вольтерра, принцип (закон) конкурентного ...