Реферат : Простые числа Мерсенна. Совершенные числа 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Простые числа Мерсенна. Совершенные числа




Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)Мр = 2р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11=2047=23 . 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М127=170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М216091 имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.

Евклид доказал, что если р и 2р-1 - простые числа, то число 4)Рр=2р-1(2р-1)=2р-1Мр является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2р-1р,2Мр, ... ,2р-1Мр .

Их сумма Sp=(1+2+ ... +2р-1)(Мр+1)=(2р-1) . 2р=2 . 2р-1 Мр. Вычитая из S само число Рр , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр - совершенное число.

Числа Р2=6 и Р3=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5=496 и Р7=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р13=33550336, Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Рр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1 . Мр, где Мр-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

Похожие работы:

  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... читателей в течении столетий. Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный ... к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он ... все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из ...
  • Пьер де Ферма

    Реферат >> Математика
    ... читателей в течении столетий. Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный ... к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он ... все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из ...
  • Математические основы системы остаточных классов

    Дипломная работа >> Математика
    ... р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получаем простые числа Мерсенна: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, а при ... степень любых целых положительных чисел совершенно идентичны соответствующим операциям, выполняемым над ...
  • Философ Рене Декарт

    Реферат >> Исторические личности
    ... пребывания Декарта в Ни- дерландах, Мерсенн был основным его корреспондентом в ... реальных связей природы порождала совершенно иллюзорные попытки воздействия на ... сомнения, они свелись к небольшому числу простейших правил, посредством которых из основных ...
  • Исторические экскурсы в курсе алгебры 7 класса как средство развития познавательного интереса

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить ... тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать ... минимуме. Мерсенн переслал копию этого письма другим математикам, в том числе Декарту. ...
  • "Научный орден" Фрэнсиса Бэкона: зарождение научного общества нового типа

    Реферат >> Наука и техника
    ... науки и образования Мари Мерсенн, и радикально протестантские революционные ... Новой Атлантиды (в том числе историей приобщения бенсалемцев к ... и "универсальном языке". (Совершенно не случайно поэтому теоретики ... или даже, просто наличием общего литературного ...
  • Математическое выражение музыки

    Реферат >> Математика
    ... на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент ... пифагорова строя дала простой способ настройки инструментов ... труде “Универсальная гармония” Марена Мерсенна (1588-1648) - ... (5 /4), но и построение “совершенной гармонии” - объединение большой терции ...
  • Подготовка французского Просвещения

    Статья >> Религия и мифология
    ... . А полная противоположность Мерсену свободомыслящий Вольтер называл его ... вызванные «Кимвалом», не были простой «паникой попов и богословов», ... изрядной дозе. В числе выводов, которые должен ... , богослов и священник совершенно незаслуженно был обозван почетным ...
  • Великая французская революция и ее влияние на Европу

    Реферат >> История
    ... Рене Декарт преподобному Отцу Мерсену Амстердам, 15 апреля ... когда-то простые законопослушные граждане - просто хотели добиться ... области применялось более совершенное по сравнению с ... в русских газетах, в том числе и в правительственных «Санкт-Петербургских ...
  • Рационалистическая направленность филосовской деятельности Рене Декарта

    Реферат >> Философия
    ... сыграла , завязавшаяся дружба с Мерсенном – монахом францисканского ордена, праподавателем ... алгебры. У Д. действительное число трактовалось как отношение любого ... благодаря чему достигаются простые и ясные истины, совершенно отличные от неопределенности ...