Реферат : Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)






Лабораторная работа № 4.

Приближенный метод решения интегралов.

Метод прямоугольников (правых, средних, левых).

Гребенникова Марина

12-А класс

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка .

Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2*h, ... , xn-1=a+(n-1)*h; xn=b.

Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1, x2, ... , xn (рис. 1.2).

Строим прямоугольники. Это можно делать несколькими способами:

Левые прямоуголики (слева на право)

Правые прямоугоники (построение справа на лево)

Средние прямоугольники (посредине)

Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

h=(b-a)/n –ширина прямоугольников

Формула левых прямоугольников:

(1.3)

Формула правых прямоугольников:

(1.4)

Формула средних прямоугольников.

Sсредих= (Sправых + Sлевых) /2

(1.5)

Программа вычисления по методу левых прямоугольников.

Program levii;{Метод левых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S= 18,077

a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

Программа вычисления по методу правых прямоугольников.


Program pravii; {Метод правых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=1 to n do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,05455

a=1 b=2 n=20 S=18,55555

a=1 b=2 n=100 S= 18,2734

Программа вычисления по методу средних прямоугольников.


Program srednii; {Метод средних прямоугольников}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;
function f(x : real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;

write('Интеграл равен ',s:15:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,07667

a=1 b=2 n=20 S=18,368

a=1 b=2 n=100 S= 18,156

Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чем больше значение n, тем точнее значение интеграла..

Похожие работы:

  • Численные методы решения типовых математических задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... существующих численных методов решения задачи 1.4 Численный метод решения задачи ... методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников ...
  • Некоторые дополнительные вычислительные методы

    Реферат >> Математика
    ... классификация методов решения краевых задач: существуют точные, приближенные и численные методы. 6. Приближенные методы решения дифференциальных ... прямоугольнике . Требуется найти непрерывное в решение задачи: Применение метода конечных разностей к решению ...
  • Численные методы

    Реферат >> Математика
    ... приближенного вычисления определенных интегралов ... прямоугольников. Допустим, что . Положим приближенно ... правой части, используя обобщенную теорему о среднем ... Суммируя левую и правую части ... решения системы (1), (2) и возможность нахождения этого решения методом ...
  • Численные методы

    Курсовая работа >> Математика
    ... решения системы (1), (2) и возможность нахождения этого решения методом ... приближенного вычисления определенных интегралов ... прямоугольников. Допустим, что . Положим приближенно ... правой части, используя обобщенную теорему о среднем ... Суммируя левую и правую части ...
  • Численное интегрирование определённых интегралов

    Реферат >> Математика
    ... приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод ... учитывая, что складывая левые и правые части, получим слева искомый ...
  • Вычислительная математика

    Учебное пособие >> Математика
    ... методами. Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения ... интегралов ... методом средних, левых и правых прямоугольников. Контрольный пример. Вычислить , n = 10. 20. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников ...
  • Численное интегрирование методом Гаусса

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников имеет вид ...
  • Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

    Курсовая работа >> Математика
    ... ………………………………………………………..19 2.3. Интегралы от выпуклых ... подбирать метод решения задачи, ... между средним арифметическим и средним ... прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения ... при : . Решение. Вычислим производные левой и правой частей: Ясно, ...
  • Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

    Курсовая работа >> Математика
    ... приходится подбирать метод решения задачи, ... между средним арифметическим и средним геометрическим ... прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения ... при : . Решение. Вычислим производные левой и правой частей: Ясно, что ... для интегралов от ...
  • Численное интегрирование функции методом Гаусса

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников имеет вид ...