Реферат : Геометрия Лобачевского (работа 1) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Геометрия Лобачевского (работа 1)




Реферат

З геометрії

На тему:

"Геомтрія Лобачевського"

Виконав

Учень 10-А класу

Середньої школи № 96

Коркуна Дмитро

Львів 2000

Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що не виконується п'яте правило: сума кутів ( і ( є менше розгорнутого кута, але прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до О, то найдеться така "критична" точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до сторони OB поки що не перетинається зі стороною ОА, але для любої точки М`, яка лежить між О і М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q` перетинається зі стороною ОА. Прямі ОА і M0Q0 все більше приближаються одна до одної, але спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено окремо; а саме такі необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в своїй геометрії називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої, які необмежено віддаляються один від одного, як на рисунку Лобачевський називає прямими, які розходяться. Виявляється, що цим і обмежуються всі можливості розміщення двох прямих на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі, які або перетинаються в одній точці, або паралельні , або можуть бути такими, що розходяться (в цьому випадку вони мають єдиний спільний перпендикуляр)

На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетинається зі стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q` симетричні прямим ОВ і MQ відносно ОА. Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині. Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки, одинаково віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.

На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на площині Лобачевського: кожні дві із них паралельні, тільки в різних напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна одній в одному напрямку (пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на рис.5 "перпендикулярна" всім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця лінія називається граничною кола, або орициклом. Прямі розглянутого пучка ніби являються її "радіусами", а центр граничної кола лежить в нескінченності, оскільки "радіуси" паралельні. В той же час гранична кола не являється прямою лінією, вона "викривлена". І інші властивості, які в евклідовій геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського виявляються властивими другим лініям. Наприклад, з множини точок, які знаходяться на одній стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії Лобачевського являють собою криву лінію, яка називається єквидистантою.

Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не згадуючи багатьох інших цікавих і змістовних теорем (наприклад, довжина кола і площа круга тут зростає в залежності від радіуса по показниковому закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже цікавими і змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це переконання (яке було у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення несуперечливості.

Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це добре розумів і намагався її знайти.

Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова такої моделі (доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало на долю математиків наступного покоління.

В 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що на цій поверховості діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати найкоротші лінії ("геодезичні") і вимірювати по цим лініям відстані, складати з дуг цих ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності реалізуються всі формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів будь-якого трикутника дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері реалізується не вся площина Лобачевського.

Клейн бере деякий круг К и розглядає такі проективні перетворення площини, які відображають круг К на себе. "Площину" Клейн називає внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає "рухом" цієї "площини". Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки беруться тільки внутрішні точки круга) Клейн вважає "прямою". Оскільки, "рух" являє собою проективні перетворення, "прямі" при цих рухах переходять в "прямі". Тепер в цій "площині" можна роздивлятися відрізки, трикутники тощо. Дві фігури називаються рівними, якщо кожна з них може бути перетворена в іншу деяким "рухом". Так само введені всі поняття, які згадуються в аксіомах в цій моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, В проходить єдина пряма. Також , можна прослідкувати, що через точку А, яка не лежить на прямій , проходить нескінченно багато прямих , які не перетинають . Пізніша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються и всі інші аксіоми геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує "рух"., перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це дозволяє перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.




Похожие работы:

  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    Геометрия Лобачевского Выполнили Исаев Андрей, Гурьев ... материала своей «воображаемой» геометрии Лобачевский построил модель геометрии Евклида. Какая злая ... др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геометрии Евклида, тем самым ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... Евклида. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана ... в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в ...
  • ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович

    Реферат >> История
    ... сумел оценить кипучую деятельную натуру Н.И.Лобачевского. Великого геометра избирают вскоре, в 1827 г., ... начала геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках": в 1835 г. "Воображаемую геометрию" в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым ...
  • Лобачевский

    Реферат >> Математика
    ... геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского ...
  • Геометрия

    Доклад >> Математика
    ... будет никаких противоречий. Эту геометрию называют сегодня геометрией Лобачевского. Заменив аксиому параллельности противоположным ... десятки теорем неевклидовой геометрии. Особенно существенно развил ее Лобачевский. В геометрии Лобачевского сумма углов любого ...
  • Лобачевский и неевклидова геометрия

    Реферат >> Математика
    ... основе геометрии». Краткое описание геометрии Лобачевского. Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные ... неевклидовой геометрии. Геометрия Лобачевского в реальном мире. Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, ...
  • Лобачевский

    Реферат >> Исторические личности
    ... геометрии Лобачевского. - М.-Л.: Гостехиздат. 1952. Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. - М.: Гостехиздат, 1953. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский ...
  • Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

    Дипломная работа >> Математика
    ... геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия ... в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эти геометрии, включая и геометрию достаточно малых ...