Реферат : Геометрия (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Геометрия (работа 2)




БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть -плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1 - прямая в плоскости ,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость 1 ч/з

прямые а и а1.

Она отлична от ,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости . Плоскости  и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H

БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями  и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями  и  по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.=2R(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости  и  пересекаются с плоскостью . Докажем, что а  b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл.  и  имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.   . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а  b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости  и . В

плоскости  лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в  -

- прямые а1 и b1,

причем а  а1 и b  b1.

Докажем, что плоскос.

-ти  и  не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость  проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость  по прямой с. Отсюда следует, что

а  с.

Но плоскость  проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b   с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b,   с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая   с.

Значит, наше допущение неверно и   . Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость , а ч/з М в

в плоскости  прямую

b  a. Докажем, что b  a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2  a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с . По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.=1/3*H(R12+R1R2+R22)

БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А2 Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А3 Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A

БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

10 Проекция прямой есть прямая.

20 Проекция отрезка есть отрезок.

30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

- - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд.

к плоскости , AM -

наклонная, а - прямая

проведенная в плоск.

 ч/з точку M перпенд

к проекцииHM

наклонной.

Рассмотрим плоск.

AMH. Прямая аэтой

плоскости, т.к. она 

к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.

что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.

Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Sсеч.=2RH

Sшар.сег.=2RH


БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости  и . Но это невозможно, след-но, a b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости  и  такие, что плоскость  проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости  и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости  и  пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .

Проведем в плоскости  прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей  и . Но BAD=900 (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями  и  равен 900, т.е. . Ч.Т.Д.

Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а1.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .

Так как а, то ах. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а1. Ч.Т.Д.

Vпаралл-да=abc=Sосн.*H


БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и

DD1 параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1..D1.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1 BC и

A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, ..., Pan - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA1/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC12=AB2+AD2+AA12

Так как ребро CC1

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ACC1-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC1

по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.

След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и  м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.

равны двум смежным сторонам у  м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн.

сечение конуса плоскостью

перпендикулярной к оси Ox,

является кругом с центром

в т.M1 пересечения этой

плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого

круга ч/з R1, а площадь

сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M1. Из

подобия прямоугольных

треугольников OM1A1 и OMA следует, что

OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.

Так как S(x)=R12, то S(x)=R2x2/h2.

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна R2, поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA1B1C1 с объемом V и

высотой h. Проведем такую

высоту треугольника ABC

отрез.BD, которая разделяет

этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB1D разделяет

данную призму на две приз.,

основаниями которых явл.

прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны

Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=

=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch

2) Докажем теорему для произвольной

призмы с высотой h и площ.

основания S. Такую призму

можно разбить на прямые

треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз.

по формуле (1) и сложим эти

объемы. Вынося за скобки

множитель h, получим в

скобках сумму площадей

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Похожие работы:

  • Геометрия Лобачевского

    Курсовая работа >> Математика
    ... Глава II. Геометрия Лобачевского 2.1 Основные понятия 2.2 Непротиворечивость геометрии Лобачевского 2.3 Модели геометрии Лобачевского 2.4 ... Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому ...
  • Геометрия молекул. Теория ЛЭП. Элементы стереохимии

    Реферат >> Химия
    ... обо всех особенностях молекулярной геометрии составляет предмет стереохимии. ... вычислительном отношении. Молекулярная геометрия определяется на основе полной ... пары необходимо 4 координационных места. Геометрия молекулы – осколочный тетраэдр с валентным ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество ... (Лобачевский назвал её «воображаемой» геометрией), которая, однако, тоже непротиворечива ... сомневался) модель собственной «воображаемой» геометрии – и законность его ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть ... часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В первом случае ... теорем, относящихся к абсолютной геометрии. Каждый отрезок и каждый ...
  • Геометрия пространства двойной планетной системы: Земля - Луна

    Реферат >> Математика
    ... любая сферически симметричная геометрия некоторой области пространства-времени ... ) с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда. Таким образом, сферически ... область шварцишльдовской геометрии, а при г < 2М - геометрия становится сингулярной. ...
  • Геометрия физического пространства

    Реферат >> Математика
    ... будут в среднем уравновешены, а геометрия наблюдаемого пространства близка к евклидовой ( ... , связанные с неевклидовым характером геометрии пространства Вселенной. Все дело ... наблюдаем. Геометрический пример. Изменение геометрии релятивистских тел. Рис. 7. ...
  • Геометрия эмоций

    Статья >> Биология и химия
    Геометрия эмоций Кандидат биологических наук В. В. Александрин ... и левый, и думают они по-разному. Геометрия эмоций Начнём с того, что центры ... -ка сюда, голубушка!). А теперь, зная и геометрию, и химию эмоций, давайте проанализируем банальный ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... ) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние ... ; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия ...
  • Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени

    Дипломная работа >> Математика
    ... комплексный коэффициент. 2.2 Геометрия четырехмерного мира Минковского ... геометрии, который называется конструктивная геометрия. Как раздел общей геометрии ... , она изучает геометрические построения. В конструктивной геометрии ...
  • Геометрия чисел

    Реферат >> Математика
    ... 2 Постановка задачи. 3 Основная задача геометрии чисел. 4 Теорема Минковского. 6 Доказательство ... Дж. В. С. Геометрия чисел – М., Мир, 1965г. Минковский Г. Геометрия чисел – Лейпциг, ... анализа и информатики Курсовая работа “Геометрия чисел” Выполнил: =PeppeR= ...