Реферат : Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры




Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.

Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.

Реферат

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

Выполнил:

Студент группы Х-149

Покровский П.В.

Проверил:

Преподаватель кафедры ВМ и УМФ

Пироговская Л. М.

Екатеринбург.

1999.

  1. Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)

c массами m1,m2,m3, . . . , mn.

Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

                  1. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной  для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины x1, x2, . . ., xn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность . Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием xi и высотой f2()-f1(), где , то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2, ... ,n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности  фигуры (в процессе вычисления  сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам

.

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

(*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность .

Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

                  1. Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)

Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)

Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)

Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)

Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .

Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги


Следовательно,


5)

Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

.

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

                  1. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

                  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.

                  1. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965

Похожие работы:

  • Применение интегралов к решению прикладных задач

    Курсовая работа >> Математика
    ... момента и центра тяжести кривой. 1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоской фигуры. 1.7 Механическая работа. 2. Двойной интеграл. 2.1 Вычисление площади ...
  • Кратные интегралы

    Дипломная работа >> Математика
    ... 026060f000a03574d46430100000000000100698b0000000001000000e802000000000000e8020000010000006c000000000000 γ = γ (х, у): (17) Пример 4. Найти центр тяжести однородной пластины ... y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T, то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой (25) В частности, ...
  • Греческая математика

    Реферат >> Право, юриспруденция
    ... треугольника. Пифагор проделал необходимые вычисления и получил удивительный результат: ... по этим данным Архимед нашел центр тяжести плоской фигуры. Сейчас такие задачи решают ... итальянцами - а также числовые координаты на плоскости, введенные Декартом. Без ...
  • Вычисление интегралов

    Контрольная работа >> Математика
    ... площадей, объемов, центров тяжести и т.д. Курс ... криволинейную трапецию. Вычисление площади криволинейной ... координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская ... х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого ...
  • Приложения технологии языка программирования Паскаль в прикладной механике

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... у подвижной системы координат , жестко связанной с плоской фигурой ; х у – координаты точки М в ... координаты центра тяжести С1 станины механизма и неподвижного колеса 1, x2 и y2 – координаты центра тяжести ... уровень компьютерных вычислений посредством языка ...
  • Основы проектирования и конструирования

    Учебное пособие >> Промышленность, производство
    ... . Координаты центра тяжести ; ; , где xк, yк, zк - координаты точек приложения сил тяжести , ... привязывающая алгоритмическую сложность к средствам вычислений [1, 2]. Читателям, желающим более ... лишь для плоских изображений. Для объемных фигур требуется ...
  • Динамика плоских шарнирных механизмов

    Курсовая работа >> Промышленность, производство
    ... центров масс шатунов АB и KD вычислим с помощью теоремы о сложении скоростей плоской фигуры ... минимальное время вычислений. 4.1 Алгоритм вычислений Угловые координаты звеньев и положение ... векторов сил тяжести звеньев механизма Вычисление коэффициентов ...
  • Кинематика и динамика поступательного движения

    Учебное пособие >> Физика
    ... Формулы для вычисления погрешностей ..........................70 ... оси качаний до центра тяжести стержня. Экспериментальная ... Рассмотрим плоское ... называются фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит ... ускорение пропорционально угловой координате - смещению  ...
  • Концепции современного естествознания

    Книга >> Биология
    ... случаях больших объемов вычислений, необходимых для исследования ... Архимед ввел понятие центра тяжести и разработал методы ... системы координат и ее координаты (x, y, z). Вторая система координат движется ... просто нарисовать плоские геометрические фигуры на листе ...
  • Экспериментальное исследование распространения атмосфериков и динамики мировой грозовой активности

    Реферат >> Коммуникации и связь
    ... проводилось с помощью фигур Лиссажу в два этапа ... напр. [80]). В плоском волноводе с идеально проводящими ... курсе и координатах корабля, необходимая для вычисления азимута прихода ... указывающих направление на центры тяжести азимутальных распределений, ...