Реферат : Движение в центральном симметричном поле 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Математика


Движение в центральном симметричном поле




Реферат

На тему «Движение в центральном симметричном поле»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Немного теории.

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представ­ляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выпол­няется закон сохранения момента импульса, если опреде­лять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы про­ходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относи­тельно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const.

(где Lвектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импуль­са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ­ведения имеем

Так как - есть скорость v частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю век­торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действую­щая на частицу сила F. Таким образом, .)

Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направ­лению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор дол­жен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в цент­ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов гео­метрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же парал­лелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоен­ная площадь бесконечно узкого сектора OAA , описанного радиусом-вектором движущейся точки за вре­мя dt. Обозначив эту площадь через dS, мож­но записать величину момента в виде

Величина называется секториальной ско­ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери­альных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе­их частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс час­тиц равен нулю:

m1v1+m2v2=0,

где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц

v = v1-v2.

Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы

выражающие скорости каждой из частиц через их относи­тельную скорость.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим

где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим

,

где m обозначает вели­чину

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении од­ной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи.

Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.

, представим (скорость) в полярных координатах


Рассмотрим треугольник ABD:

ds~AB, следовательно

,

откуда получаем

Выразим

(*)

Осталось выразить характер траектории

(**)

Подставим выражение (*) в (**)

Проинтегрируем

Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

, где

Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену

Сделаем замену ,

тогда

Далее применим формулу

В итоге получаем

,

где ;

Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.

При e >1 – гипербола;

e =1 – парабола;

0< e <1 – эллипс;

e =0 – окружность;

Литература:

1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.

2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.

Похожие работы:

  • Колебания

    Курсовая работа >> Физика
    ... система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при ... главными с частотами В частном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) ... простейшими видами колебательных движений, основными характеристиками колебательных ...
  • Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр)

    Реферат >> Физика
    ... абсолютного нуля находятся в состоянии хаотического движения, а дёргающийся заряд излучает электромагнитные ... 10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда . Гамильтониан в координатном ...
  • О теории этногенеза Л. Н. Гумилева

    Реферат >> Философия
    ... тексте утверждения о ритмичности колебательного движения, употребление понятий наподобие "цикла ... указывает на то, что центрально-симметричные поля Земли имеют определенное отношение ... системно объемлет все виды исторического движения - этнический, культурный, ...
  • Принципы динамической организации

    Реферат >> Теория организации
    ... М. 1965. Свидерский В. И. Противоречивость движения и её проявление . Л. 1959. ... поле , падающее тело и вещественная среда) этот обмен не является тождественным . 1 При движении ... материальной точки по круговой орбите в центрально-симметричном поле ...
  • Движение материи

    Реферат >> Философия
    ... движение является развитием. Марксистская философия определяет для категории развития одно из центральных ... пространства проявляется в симметричной конфигурации различных материальных ... описывают одновременно и гравитационное поле, и геометрию пространства- ...
  • Центральная двигательная система

    Реферат >> Психология
    ... свое название от симметричных клиновидных выпуклостей, ... предположение, что начальные движения вызываются спонтанными электрическими ... недели могут подбирать пищу с пола, но у них никогда не ... крайним выражением потери центрального тормозного контроля. Механизмы ...
  • Движение электронов - отклоняющие системы ЭЛТ

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... Величина центрального угла  = s/r  l1/r, где s – кривая, по которой движется электрон в поле В. ... как при строго симметричном расположении кату­шек суммарный магнитный ... направлению его оптимальной формы движения. Такая идеальная элект­ростатическая ...
  • Использование компьютерных технологий в изучении наглядной геометрии

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... включения учащихся в учебную деятельность; в) в «поле самостоятельности» учащегося (что характеризуется допустимыми ... движения; рассмотрение видов движений: осевой и центральной симметрии, параллельного переноса и поворота; построение фигур, симметричных ...
  • Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... больше. 3. Через полую непрозрачную трубку (рис.3) ... а) представление математических объектов в движении, изме­нении; б) операционно-действенный подход ... прежнем вариан­те, вводим понятие центрально-симметричных фигур, рас­сматривая предварительно симметрию ...