Доклад : Аксиоматический метод в геометрии 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Аксиоматический метод в геометрии




Аксиоматический метод в геометрии

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем : выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил : "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части".

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.

Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. рисунок 1). Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее : "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии : от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://tc.lib.ru/

Похожие работы:

  • Аксиоматический метод

    Курсовая работа >> Математика
    ... которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было ... принято, что значит построить аксиоматическую теорию ...
  • Геометрия Лобачевского

    Реферат >> Математика
    ... построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике ...
  • Методы эмпирического и теоретического познания

    Реферат >> Философия
    ... терминов науки (например, в геометрии Эвклида - это понятия точки, ... определенным правилам (например, в геометрии Эвклида: "через две точки ... введенные понятия. Следовательно, доказательство в аксиоматическом методе - это некоторая последовательность формул, ...
  • Методы и формы научного познания

    Реферат >> Философия
    ... . Классическим образцом построения теории аксиоматическим методом может служить геометрия Евклида. Эм­пирическое исследование, выявляя ...
  • О принципиальной возможности аксиоматической перестройки произв0льн0й научной теории

    Реферат >> Философия
    ... пишет так: В отличие от аксиоматического метода ..., генетический метод предполагает оперирование непосредственно с абстрактными объектами ... авторами, а более всего Д.Гильбертом(8), в "Основаниях геометрии" которого она представлена в современном виде ...
  • Познание природы и логика

    Реферат >> Математика
    ... суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода - геометрия Евклида ... . Но я хотел бы кратко пояснить суть аксиоматического метода на ...
  • Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

    Дипломная работа >> Математика
    ...  Формулирование теорем (утверждений) и их доказательство. Метод доказательства от противного – тоже его ... следствий из формул (3.3), (3.4) и дадим аксиоматическое определение псевдоевклидовой геометрии. Делается это следующим образом ...
  • Проблема абсолютности – относительности научного познания и единый метод обоснования

    Реферат >> Философия
    ... не учитывает, что Гильберт достроил аксиоматически геометрию Евклида, а все прочие его примеры ... разница между аксиоматическим и генетическим (он же конструктивный) методами. Базисным элементом аксиоматического метода является понятие ...
  • Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах

    Дипломная работа >> Педагогика
    ... , гимназические курсы геометрии в XIX веке не были аксиоматическими, но по ... построения школьного курса. На аксиоматической основе были построены учебники Колмогорова ... ее, применяя для этого разнообразные методы. Геометрия – это раздел математики, являющийся ...
  • Как начиналась геометрия

    Статья >> Математика
    ... в блестящих геометров. Но надо сказать, что и по своим взглядам, и по методам организации ... раздела математики. Попытки изложить геометрию на основе аксиоматического метода были и до Евклида. Но ...