Доклад : Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Математика


Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона




Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения

(1)

Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно, . Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1) относительно точки x = xj:

(2)

Если примем в качестве следующего члена x = xj+1, то уравнение (2) будет иметь вид:

(3)

Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение xj было удовлетворительным, так что xj+1 - xj мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:

(4)

Нашей целью является выбор такого xj+1, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, xj+1 должно быть выбрано таким, что. Приравняв уравнение (4) к нулю и решив относительно xj+1, получим:

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.

а) метод сходится

б) метод не сходится

Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона

Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б.

Алгоритм

Назначение: поиск решения уравнения (1)

Вход:

Начальное приближение x0

Точность (число итераций I)

Выход:

xI - решение уравнения (1)

Инициализация:

calculate f’(x0)

Шаги:

1. repeat:

2. calculate xi using (5)

3. let i=i+1

4. if i>I then break the cycle

end of repeat

Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:

Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.xaoc.ru/

Похожие работы:

  • Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... , "Линейные дифференциальные уравнения" и другие. Также ... и 2-х производных функции : метод Ньютона; метод Ньютона-Рафсона; метод Марквардта Методы нулевого порядка, представленные в ... Преимущества и недостатки готовых решений Характеристика Разработка своими ...
  • Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

    Лабораторная работа >> Математика
    ... метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона. 2. Методы решения системы нелинейных уравнений 2.1.Метод ... Метод Ньютона В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает ...
  • Решение нелинейных уравнений

    Лабораторная работа >> Математика
    ... решений уравнения с точностью до  = 0,001: *методом половинного деления; *методом Ньютона - Рафсона; методом секущих; конечно-разностным методом Ньютона; *методом простой итерации; *методом ...
  • Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... universalis (лат.Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил ... и предыдущей итерациях: . При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений ...
  • Расчет и анализ потерь активной мощности

    Дипломная работа >> Информатика, программирование
    ... методом, при наличии некоторых условий целесообразно применять метод Ньютона-Рафсона по параметру. Для решения систем ... линейных уравнений по итерационным ...
  • САПР (Cosmos/M)

    Реферат >> Кибернетика
    ... Модуль использует метод штрафных функций для решения уравнений Навье-Стокса и уравнения энергии для ... и потерь. Итерационные методы решения нелинейных задач: обычный метод Ньютона-Рафсона; модифицированный метод Ныотона-Рафсона. Граничные условия: узловые ...
  • Лекции по ТОЭ

    Реферат >> Физика
    ... решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации. Метод Ньютона- -Рафсона 1. На основании исходного нелинейного уравнения ... итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка итерационные ...
  • Математический анализ

    Контрольная работа >> Математика
    ... диф. уравнений: Учитывая начальные условия, получим систему уравнений: Задача 17. Используя метод Ньютона-Рафсона, ... (x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5]. Решение P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – ...
  • Дискретизация и квантование изображений

    Реферат >> Радиоэлектроника
    ... сокращению их избыточности методом ДИКМ и методом преобразования [33, 36]. Методы сжатия аналогичны ... для решения нелинейных уравнений применялась итерационная процедура Ньютона - Рафсона. При увеличении размеров снимка решение нелинейных уравнений ...
  • Проблема анализа доходности финансовых операций

    Реферат >> Экономика
    ... в размере D (1-g). Балансовое уравнение, полученное дисконтированием всех платежей по ... a3;iэ-0,95=0 Решение, например методом Ньютона-Рафсона или простым подбором, дает ... в году(по норме g/р), то из уравнения эффективной ставки i = (1+j/m)m-1, получим: i = ...