Контрольная работа : Угорський метод рішення завдань про призначення 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Информатика, программирование


Угорський метод рішення завдань про призначення




Контрольна робота

Угорський метод рішення завдань про призначення

Зміст

Вступ

1 Постановка завдання

2 Розвязання завдання

3 Приклад розвязання задачі за допомогою угорського методу

Висновок

Література

Вступ

Тема контрольної роботи «Угорський метод рішення завдань про призначення».

Мета роботи: навчитися застосовувати угорський метод для рішення завдань про призначення, а саме:

  • алгоритм угорського методу;

  • завдання вибору.

Угорський метод є одним з найцікавіших і найпоширеніших методів рішення транспортних завдань. Основна ідея цього методу була вперше висловлена угорським математиком Е. Егерварі (звідси й назва методу) задовго до виникнення теорії лінійного програмування.

Розглянемо спочатку основні ідеї угорського методу на прикладі рішення завдання вибору (завдання про призначення), що є окремим випадком Т-задачі, а потім узагальнимо цей метод для довільної Т-задачі.

1 Постановка завдання

Припустимо, що є різні роботи і механізми, кожний з яких може виконувати будь-яку роботу, але з неоднаковою ефективністю. Продуктивність кожного i-го механізму при виконанні j-тої роботи позначимо Cij , і = 1,...,n; j = 1,...,n. Потрібно так розподілити механізми по роботах, щоб сумарний ефект від їхнього використання був максимальний. Таке завдання називається завданням вибору або завданням про призначення.

Формально вона записується так. Необхідно вибрати таку послідовність елементів  з матриці

щоб сума  була максимальна й при цьому з кожного рядка й стовпця був обраний тільки один елемент.

2 Розвязання завдання

Введемо наступні поняття.

Нульові елементи матриці називаються незалежними нулями, якщо для будь-якого Cij рядок і стовпець, на перетинанні яких розташований елемент, не містять інші такі елементи.

Дві прямокутні матриці С и D називаються еквівалентними (C ~ D), якщо Cij ~Dij для всіх i,j . Завдання про призначення, обумовлені еквівалентними матрицями, є еквівалентними (тобто оптимальні рішення однієї з них будуть оптимальними й для другий, і навпаки). Блок-схема алгоритму угорського методу:

Попередній етап. Розшукують максимальний елемент в j-му стовпці й всі елементи цього стовпця послідовно віднімають із максимального. Цю операцію проробляють над всіма стовпцями матриці С. У результаті утвориться матриця з ненегативними елементами, у кожному стовпці якої є, принаймні, один нуль.

Далі розглядають i-тий рядок отриманої матриці, розшукують її мінімальний елемент і з кожного елемента цього рядка віднімають мінімальний. Цю процедуру повторюють із усіма рядками. У

результаті одержимо матрицю З00 ~ C), у кожному рядку й стовпці якої є, принаймні, один нуль. Описаний процес перетворення С у С0 називається приведенням матриці.

Знаходимо довільний нуль у першому стовпці й відзначаємо його зірочкою. Потім переглядаємо другий стовпець, і якщо в ньому є нуль, розташований у рядку, де немає нуля із зірочкою, то відзначаємо його зірочкою. Аналогічно переглядаємо один за іншим всі стовпці матриці З0 і відзначаємо, якщо можливо, що випливають нулі знаком '*'. Очевидно, що нулі матриці З0, відзначені зірочкою, є незалежними. На цьому попередній етап закінчується.

(k+1)-а ітерація. Припустимо, що k-та ітерація вже проведена й у результаті отримана матриця Сk. Якщо в ній є рівно n нулів із зірочкою, то процес рішення закінчується. У противному випадку переходимо до (k+1) –ої ітерації.

Кожна ітерація починається першим і закінчується другим етапом. Між ними може кілька разів проводитися пари етапів: третій - перший. Перед початком ітерації знаком '+' виділяють стовпці матриці Сk, які містять нулі із зірочками.

Перший етап. Переглядають невиділені стовпці Сk. Якщо серед них не виявиться нульових елементів, то переходять до третього етапу. Якщо ж невиділений нуль матриці Сk виявлений, то можливо один із двох випадків:

1) рядок, що містить невиділений нуль, містить також і нуль із зірочкою;

2) цей рядок не містить нуля із зірочкою.

У другому випадку переходимо відразу до другого етапу, відзначивши цей нуль штрихом.

У першому випадку цей невиділений нуль відзначають штрихом і виділяють рядок, у якій він утримується (знаком '+' праворуч від рядка). Переглядають цей рядок, знаходять нуль із зірочкою й знищують знак '+' виділення стовпця, у якому втримується даний нуль.

Далі переглядають цей стовпець (який уже став невиділеним) і відшукують у ньому невиділений нуль (або нулі), у якому він перебуває. Цей нуль відзначають штрихом і виділяють рядок, що містить такий нуль (або нулі). Потім переглядають цей рядок, відшукуючи в ній нуль із зірочкою.

Цей процес за кінцеве число кроків закінчується одним з наступних результатів:

1) всі нулі матриці Сk виділені, тобто перебувають у виділених рядках або стовпцях. При цьому переходять до третього етапу;

2) є такий невиділений нуль у рядку, де немає нуля із зірочкою. Тоді переходять до другого етапу, відзначивши цей нуль штрихом.

Другий етап. На цьому етапі будують наступний ланцюжок з нулів матриці Сk: вихідний нуль зі штрихом, нуль із зірочкою, розташований в одному стовпці з першим нулем зі штрихом в одному рядку з попереднім нулем із зірочкою й т.д. Отже, ланцюжок утвориться пересуванням від 0' до 0* по стовпці, від 0* до 0' по рядку й т.д.

Можна довести, що описаний алгоритм побудови ланцюжка однозначний і кінцевий, при цьому ланцюжок завжди починається й закінчується нулем зі штрихом.

Далі над елементами ланцюжка, що знаходяться на непарних місцях ( 0' ) ставимо зірочки, знищуючи їх над парними елементами (0*). Потім знищуємо всі штрихи над елементами Сk і знаки виділення '+'. Кількість незалежних нулів буде збільшено на одиницю. На цьому (k+1)-а ітерація закінчена.

Третій етап. До цього етапу переходять після першого, якщо всі нулі матриці Сk виділені. У такому випадку серед невиділених елементів Сk вибирають мінімальний і позначають його h (h>0). Далі віднімають h із всіх елементів матриці Сk, розташованих у невиділених рядках і додають до всіх елементів, розташованим у виділених стовпцях. У результаті одержують нову матрицю С'k, еквівалентну Сk. Помітимо, що при такому перетворенні, всі нулі із зірочкою матриці Сk залишаються нулями й у С'k, крім того, у ній з'являються нові невиділені нулі. Тому переходять знову до першого етапу. Завершивши перший етап, залежно від його результату або переходять до другого етапу, або знову повертаються до третього етапу.

Після кінцевого числа повторень черговий перший етап обов'язково закінчиться переходом на другий етап. Після його виконання кількість незалежних нулів збільшиться на одиницю й (k+1)-а ітерація буде закінчена.

3 Приклад розвязання задачі за допомогою угорського методу

Вирішити завдання про призначення з наступною матрицею:

Операціії

Обладнання

1

2

3

4

1

3

78

58

3


2

57

6

16

61

3

16

16

25

87

4

45

82

32

75


При рішенні завдання використаємо наступні позначення:

Знак виділення '+', що підлягає знищенню, обводимо кружком; коло, як і раніше, указуємо стрілками.

Попередній етап. Відшукуємо максимальний елемент першого стовпця - 73. Віднімаємо з нього всі елементи цього стовпця. Аналогічно для одержання другого, третього й четвертого стовпців нової матриці віднімаємо всі елементи цих стовпців від 82, 58, і 87 відповідно. Одержимо матрицю С'(C'~C).

0

4

0

84

16

76

42

26

57

66

33

0

28

0

26

12

Тому що в кожному рядку С' крім другого є нуль, то віднімаємо лише мінімальний елемент другого рядку (16) від усіх елементів цього рядку і отримуємо матрицю З0 ~ С' і на цьому процес приведення матриці закінчується.

Далі шукаємо й відзначаємо знаком '*' незалежні нулі в З0, починаючи з першого рядка.

0*

4

0

84

0

60

26

10

57

66

33

0*

28

0*

26

12

Перша ітерація. Перший етап. Виділяємо знаком '+' перший, другий, і четвертий стовпці матриці З0, які містять 0*.

Переглядаємо невиділений третій стовпець, знаходимо в ньому невиділений нуль ІЗ13 = 0, відзначаємо його штрихом і виділяємо знаком '+' перший рядок. Переглядаємо цей рядок, знаходимо в ній елемент ІЗ11 = 0* і знищуємо знак виділення першого стовпця, що містить 0*.

0*

4

0

84

0

60

26

10

57

66

33

0*

28

0*

26

12

Шукаємо мінімальний елемент у невиділеній частині матриці З0 (тобто елементи, які лежать у стовпцях і рядках, не відзначених знаком '+').

Друга ітерація. Перший етап. Переглядаючи всі невиділені елементи, знаходимо серед них невиділений нуль ІЗ12 = 0, відзначаємо його знаком штрих та переходимо до другого етапу.

0*

4

0

84 +

0

60

26

10

57

66

33

0*

28

0*

26

12

Другий етап. Починаючи з елемента ІЗ12 = 0', будуємо коло, рухаючись від нього по стовпці. Знаходимо нуль із зірочкою ІЗ11= 0*, далі від нього рухаємося уздовж першого рядка й знаходимо 0'(ІЗ13).

0*

4

0

84 +

0

60

26

10

57

66

33

0*

28

0*

26

12

Таким чином, коло побудоване: 0'21-0*11-0'13. Заміняємо штрих на зірочку й знищуємо зірочки над парними елементами кола, а також всі знаки виділення стовпців і рядків. Після цієї ітерації кількість незалежних нулів (0*) стало дорівнювати 4 (розмірності матриці З) і тому алгоритм закінчує роботу. Шукані елементи призначення відповідають позиціям незалежних нулів матриці З3 (тобто 0*).

0

4

0*

84

0*

60

26

10

57

66

33

0*

28

0*

26

12

Висновок

Відповідне значення цільової функції:

F = C12+C24+C31+C43 = 57+82+58+87=284

Література

1. Системы автоматизированного проектирования. В 9-ти кн.Учебное пособие для вузов. Под редакцией Норенкова И.П. М.: Высш. шк., 1986.

2. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. Учебное пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1986.

3. П. Шеннен и др. Математика и САПР. т.1. М.: Мир, 1988.

4. Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М.: Радио и связь, 1984.

5.Системы автоматизированного проектирования в радиоэлектронике. Справочник. М.: Радио и связь, 1986.

6. Погребной В.К. О декомпозиции графов на классы изоморфных подграфов. В кн.: Вопросы программирования и автоматизации проектирования. Изд. ТГУ, 1979, с. 82-96.

7. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. К.: Техника, 1982. - 295 с.

8. Ильин В.Н.. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. Г.: Энергия, 1979. - 392 с.

9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Г.: Изд-во «Наука», 1966. - 664 с.

10.Разевиг В.Д. Система сквозного проектирования электронных устройств DesignLab 8.0.- М.: Изд-во «Солон»,1999. - 698 с.

Похожие работы:

  • Архівознавство як наука: предмет, завдання, специфіка

    Учебное пособие >> История
    ... архівної установи у вирішенні завдань управлінської діяльності; ... визначення цілей, основних завдань і методів робіт, що дають ... їх цільовим призначенням. 4. Поняття про архівну евристику ... латиною, польською, німецькою, угорською, румунською, єврейською мовами. ...
  • Праця про Петра Могилу

    Научная работа >> История
    ... деякі його рішення, чи методи поведінки. ... господаря Симеона и угорської князівни ... архиепископа М. Смотрицького, і завданням якої було знайти способи ... жовтні 1643 р., без призначення наступника. Але ці ві ... « про церкву, про хрищення, про конфірмацію, про покаяння, ...
  • Розпорядчі методи державного управління та Гетьманат

    Контрольная работа >> История
    ... іння способу вирішення завдання чи конкретного варі ... методи доповнюють по суті регламентаційні та розпорядчі. Вони призначен ... , що являє собою рішення про цілі перспективного розвитку окермих структурних ... армія. Німецькі та австро-угорські війська, які згі ...
  • Албано-сербські протиріччя: історія виникнення і шляхи вирішення

    Дипломная работа >> История
    ... шення. Виходячи з цієї основної мети, автор визначив такі завдання ... епідемія в угорській армії (від ... в Косово. Рішення про військові дії проти ... Косова призначений колишній ... Гуськова Е. Прецедент: Тероризм как метод достижения независимости: ( Переговорній процес ...
  • Рішення задач цілочисленного програмування

    Курсовая работа >> Информатика, программирование
    ... ікована угорським математиком Е. Егервари в 1932 р. задача про призначення персоналу. Існують різні методи рішення таких ... на тій же ідеї, що й метод рішення повністю цілочисленних задач. А саме ... змінних однозначно визначається завданням змінних , так що . ...
  • Історія міжнародних відносин України

    Учебное пособие >> История
    ... морів і рік. Дипломатичні методи і прийоми. Дипломатія стародавн ... завданням постало й інше: дбання про міжсоюзницькі відносини; про ... підписав наказ про призначення генерала Табуі ... угорського та чехословацького урядів оголосили своє арбітражне рішення про ...
  • Історія міжанродних відносин

    Шпаргалка >> История
    ... обмежувальним режимом і "плебейськими методами" якобінської диктатури, ... р. спадкоємця Австро-Угорського престолу ерцгерцога Франца Фердинанда ... Вільгельмові IV указ про призначення Стрэтфорда послом. Коли пов ... 1859-1870) були вирішені завдання звільнення півні ...
  • Вопросы на экзамен по международным отношениям и внешней политике

    Реферат >> Международные отношения
    ... ій арені. Системний метод - був започаткований ... Австро-Угорщина. Австро-Угорська імперія перестала ... і нацистів і призначення міністром внутрішн ... «Декларація про Італію» підтверджувала рішення союзників про знищення фашизму ... вирішен­ня трьох головних завдань: ...
  • История Украины

    Реферат >> История
    ... спрямовуючи їх на основне завдання — охороняти південні ... владі, а лише призначеному урядом «старшому»; ... методами задовольнити свої інтереси. Проте для Німеччини, Османської та Австро-Угорсько ... приймає рішення про видалення з Конституції СРСР статті про «керуючу ...
  • Стародавні держави і право на території України

    Дипломная работа >> Государство и право
    ... розвитку процесу. Метод екстраполяції передбачає ... шення питань війни і миру, формування народних ополчень, укладання міжнародних угод, призначення ... про зв’язки місцевих купців з болгарськими, чеськими, угорськими ... громади. Основними завданнями цивільного права ...