Контрольная работа : Схема Бернуллі 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Экономико-математическое моделирование


Схема Бернуллі




Міністерство освіти і науки України

Приватний вищий навчальний заклад

Європейський університет

Запорізька філія

Контрольна робота

з дисципліни: Теорія ймовірності і математична статистика

Варіант № 5 - Схема Бернуллі

Виконав

Перевірив:

Запоріжжя,

2007р.

СХЕМА БЕРНУЛЛІ

У багатьох задачах теорії ймовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджувати послідовність (серію) п випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 однакових монет" можна розглядати як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При киданні 1000 монет імовірність появи герба або надпису на одній монеті не залежить від того, що з'явиться на інших монетах. Тому можна казати, що у цьому випадку випробування повторюються 1000 разів незалежним чином.

Означення 1. Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або непояви А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай випадкова подія А може з'явитись у кожному випробуванні з імовірністю Р(А) = р або не з'явитись з імовірністю q = Р{А) = 1 - р.

Поставимо задачу: знайти імовірність того, що при п випробуваннях подія А з'явиться т разів і не з'явиться п - т разів. Шукану імовірність позначимо Рп(т).

Спочатку розглянемо появу події А три рази в чотирьох випробуваннях. Можливі такі події

тобто їх

Якщо подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то можливі такі події

У загальному випадку, коли подія А з'являється т разів у п випробуваннях, таких складних подій буде

Обчислимо імовірність однієї складної події, наприклад,

Імовірність сумісної появи п незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій згідно з теоремою множення ймовірностей, тобто

Кількість таких складних подійі вони несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо

Формулу (1) називають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А т разів при п випробуваннях, які утворюють схему Бернуллі.

Зауваження 1. Імовірність появи події Арп випробуваннях схеми Бернуллі менш т разів знаходять за формулою

Імовірність появи події А не менше т разів можна знайти за формулою

або за формулою

Імовірність появи події А хоча б один раз у п випробуваннях доцільно знаходити за формулою

Зауваження 2. У багатьох випадках треба знаходити найбільш імовірне значення то числа т появ події А. Це значення т визначається співвідношеннями

Число то повинно бути цілим. Якщо (п + 1)р - ціле число, тоді найбільше значення імовірність має при двох числах

Зауваження 3. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість п випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою,

Приклад 1. Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з них 0.8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти імовірність того, що

а) відмовлять два блоки;

б) відмовить хоча б один блок;

в) відмовлять не менше двох блоків.

Розв'язання. Позначимо за подію А відмову блока. Тоді імовірність події А за умовою прикладу буде

Р(А) =р = 1-0.8 = 0.2, тому д = 1-р = 1-0.2=0.8.

Згідно з умовою задачі п = 10. Використовуючи формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо

Приклад 2. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення хоча б однієї бракованої деталі буде не менше 0.952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0.01?

Розв'язання. Застосовуючи формулу (2), знайдемо спочатку таку кількість виготовлених деталей, щоб з імовірністю р = 0.952 можна було стверджувати про наявність хоча б однієї бракованої деталі, якщо імовірність браку за умовою р = 0.01

Отже, за час(годин) автомат з імовірністю 0.952 виготовить хоча б одну браковану деталь.

Приклад 3. При новому технологічному процесі 80 % усієї виготовленої продукції має найвищу якість. Знайти найбільш імовірне число виготовлених виробів найвищої якості серед 250 виготовлених виробів.

Розв'язання. Позначимо шукане число то-Згідно Зауваження

За умовою прикладу п = 250, р = 0.8, q 0.2, тому

Але то повинно бути цілим числом, тому то = 200.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОІ ЛІТЕРАТУРИ

  1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. – 448с.

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1980.

  3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.

  4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: наука, 1988.

  5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.

Похожие работы:

  • Схема Бернулли. Цепи Маркова

    Дипломная работа >> Математика
    ... ВКР - Биография Якоба Бернулли и схема Бернулли. Я рассматриваю различные варианты схем Бернулли, как она по-разному ... уверенно. Анализ частот употреблений букв (схема Бернулли) Схемой Бернулли в теории вероятностей называется последовательность независимых ...
  • Бернулли

    Реферат >> Математика
    ... повторений опытов, используемых в теории вероятностей. Бернулли схема предполагает, что имеется некоторый опыт ... с вероятностью g=1-p. Таким образом схема Бернулли определяется двумя параметрами: п и р. БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одна из важнейших ...
  • Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности

    Курсовая работа >> Математика
    ... независимые испытания. 2. Формула Бернулли Пусть произведено два испытания(n=2). ... n = 100, k = 7, m = 5, l = 3. Решение:Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того ... бы один элемент. Решение:Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 ( ...
  • Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

    Реферат >> Математика
    ... испытаний иногда называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли" Число x появления события ... вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли. Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет ...
  • Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа

    Контрольная работа >> Математика
    ... равна p(A)=0.8=p q=1-p=1-0.8=0.2 Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n ... вероятности. Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0. ... , q=1-p=0.769 По формуле Бернулли Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0. ...
  • Курс лекций по теории вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... Действительно, Раздел 5. Схема Бернулли 5.1 Распределение числа успехов в n испытаниях Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность ... распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли. Теорема 30 (ЗБЧ Бернулли). Пусть А — ...
  • Серьёзные лекции по высшей экономической математике

    Реферат >> Математика
    ... : Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления события А ... называются "схемой повторных независимых испытаний" или "схемой Бернулли" Число x ... серии из n испытаний по схеме Бернулли, соответствует определенное число x, рассматриваемое ...
  • Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

    Курсовая работа >> Математика
    ... принимать значения с вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении ... г. Э. Борель для показал, что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение ...
  • Теория Вероятностей

    Реферат >> Математика
    ... единице. 13.Испытания по схеме Бернулли. Так называется следующая серия ... утверждение. Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по схеме Бернулли. Пусть события ... нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом 7, т.е. ...
  • Экзаменационные билеты по математике

    Реферат >> Математика
    ... ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Схема Бернулли. Формула Бернулли и условия ее применения. Асимптотическая ... ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Схема Бернулли. Формула Бернулли и условия ее применения. Асимптотическая ...