Контрольная работа : Моделирование экономических систем (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Экономико-математическое моделирование


Моделирование экономических систем (работа 2)




Задание 1

Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.

С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:

задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.

Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

Классификация моделей:

— вещественные

— символьные

— словесно-описательные

  1. математические

  2. аналитические

    • имитационные

    • структурные

= формальные

= функциональные

Этапы практического моделирования

  1. Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.

  2. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.

  3. Верификация модели и уточнение ее параметров

  4. Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).

Задание 3

В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.

Пассив баланса

Наименование статей баланса

Сумма, млн. руб.

Риск одновременного снятия, %

Средства банков на корреспондентских счетах

5,1

25

Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ)

Кредитные ресурсы, полученные от других банков,

депозиты других банков до востребования

2,8

55

Кредитные ресурсы, полученные от других банков,

и депозиты других банков с договорными сроками

3,4

0

Средства клиентов

Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и

физических лиц

196

25

Вклады (депозиты) юридических и физических лиц:

до востребования

5,8

25

с договорными сроками

85

Прочие пассивы

7,6

Итого пассивов

305,7

Собственный капитал банка

68

Актив баланса

Наименование статей баланса

Сумма, млн. руб.

Доход-ность, %

Степень риска, %

Ликвид-ность, %

Касса и приравненные к ней средства

х1

0

0

100

Средства на корреспондентских счетах в банках

Средства в НБ РБ

х2

0

0

100

Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования

х3

5

30

75

Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР,

до востребования

х4

7

65

55

Обязательные резервы в НБРБ

33,5

0

0

0

Кредиты и депозиты банкам

Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение

государственных ценных бумаг РБ в бел. руб.

х5

32

0

100

Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ

х6

25

0

100

Кредиты юридическим и физическим лицам:

обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных

юридическими лицами

х7

38

100

0

обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ

х8

33

0

0

обеспеченные залогом имущества

х9

39

100

0

обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц

х10

34

100

0

Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб.

х11

25

0

100

Основные средства и нематериальные активы

12,4

0

100

0

Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:

f(x)= 0,05х3 + 0,07х4 + 0,32х5 + 0,25х6 + 0,38х7 + 0,33х8 + 0,39х9 + 
+ 0,34х10 + 0,25х11max

Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал

х1 + х2 + х3 + х4 + 33,5 + х5 + х6 + х7 + х8 + х9 + х10 + х11 + 12,4 = 373,7

Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0

Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:

Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:

Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:

Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.

Пусть х5≥0,1×68 и х6≥0,1×68, тогда

х5 + х6≤6×68

Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР

х4≤68

Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:

х3≤0,25×68; х4≤0,25×68; х5≤0,25×68;
х6≤0,25×68; х7≤0,25×68; х8≤0,25×68;
х9≤0,25×68; х10≤0,25×68

В завершение напишем условие неотрицательности:

хj ≥ 0, j = 1,11010009000003f801000002008401000000008401000026060f00fe02574d4643010000000000010020860000000001000000dc02000000000000dc020000010000006c00000000000000000000002c0000004a00000000000000000000003d0100003d01000020454d4600000100dc0200000d00000002000000000000000000000000000000c0120000131a0000cb0000001b010000000000000000000000000000f818030078510400160000000c000000180000000a00000010000000000000000000000009000000100000004b0000004b0000005200000070010000010000009cffffff00000000000000000000000090010000000000cc04400012540069006d006500730020004e0065007700200052006f006d0061006e00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000cb30093000000000040000000000ae30083109300000000047169001cc0002020603050405020304877a0020000000800800000000000000ff01000000000000540069006d00650073002000000065007700200052006f006d0061006e00000000000000bd2d093050bbae30003314000100000000000000a0481100aab40230a04811004c3eaf30b84811006476000800000000250000000c00000001000000120000000c00000001000000180000000c00000000000002540000005400000000000000000000002c0000004a0000000100000055558740a0ab8740000000005a000000010000004c0000000400000000000000000000004b0000004b00000050000000200000002d00000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffff4c0000004c000000000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e0000800e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b0200000000050000000c020b000b00040000002e0118001c000000fb02f2ff0000000000009001000000cc0440001254696d6573204e657720526f6d616e0000000000000000000000000000000000040000002d0100000400000002010100050000000902000000020d000000320a0d00000001000400000000000b000b00203006001c000000fb020200010000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010100030000000000

Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.

Задание 4

Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн. руб.

№ банка

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Кредиты и депозиты

18

23

28

29

34

36

37

42

44

45

49

50

Прибыль

12

17

15

25

20

32

25

35

30

40

41

45

Решение

Информацию, представленную в исходных данных представим графически:

Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде

у = а + bх

т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:

Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:

i

xi

yi

xiyi

xi2

yi2

1

18

12

216

324

144

2

23

17

391

529

289

3

28

15

420

784

225

4

29

25

725

841

625

5

34

20

680

1156

400

6

36

32

1152

1296

1024

7

37

25

925

1369

625

8

42

35

1470

1764

1225

9

44

30

1320

1936

900

10

45

40

1800

2025

1600

11

49

41

2009

2401

1681

12

50

45

2250

2500

2025

435

337

13358

16925

10763

Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:

Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:

у = –7,71 + 0,987х

Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:

Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% – от прочих факторов.

Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.

Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение хпр = 53 в построенное уравнение регрессии:

упр = –7,71 + 0,987×53 = 44,623 (млн. руб.)

Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.

Задание 5

За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.

Период наблюдения

Доходность компании А

Доходность компании В

Доходность компании С

1

27

25

22

2

30

20

18

3

33

26

16

Решение

Оценим ожидаемую доходность каждой акции:

Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:

Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.

Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:

Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.

Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.

пусть хА, хВ, хС — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:

хА + хВ + хС = 1

Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:

а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой

то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:

хА + хВ + хС = 1

хА + хВ + хС = 1

Задание 6

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€ = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.

Решение

В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:

А1 — разместить 500000 руб. на еврорынке;

А2— разместить 500000 руб. на рынке США;

А3— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.

У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.

Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.

Рассчитаем элемент платежной матрицы а 11:

1. Конвертируем валюту:

500000/37,7 = 13262,6 €

2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:

13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 €

3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:

13347,7×36,3 = 484,521 руб.

4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:

500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.

5. Находим чистый доход от операции

484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.

Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:

 

П1

П2

A1

-18603,45

6757,18

A2

7344,87

-21617,96

A3

5629,29

7430,39

Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:

  1. Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А3, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.

  2. Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:

 

П1

П2

A1

25948,32

673,20

A2

0,00

29048,34

A3

1715,59

0,00

Стратегия А3 соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.

  1. Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:

a1 = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07

a2 = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26

a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.

4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а1, а2, а3:

a1 = 0,4× (-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07

a2 = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82

a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95

Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А3.

Задание 7

Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.

Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.

Номер проекта

I0

Доходы по годам

первый

второй

третий

четвертый

пятый

первый

1250

-200

600

1200

1300

1400

второй

1300

100

830

700

570

720

третий

1400

500

250

400

320

710

четвертый

2200

-330

1000

1150

1600

1800

Решение

Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:

i = 1,2,3,4

Отсюда:

NPV1 = 1258,12

NPV2 = 558,68

NPV3 = 22,78

NPV4 = 835,05

Введем переменные. Пусть хi, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если хi = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если хi = 1, то i-й проект следует инвестировать.

Используя введенные переменные запишем целевую функцию:

NPV = 1258,12х1 + 558,68х2 + 22,78х3 + 835,05х4

Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.

Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:

1250х1 + 1300х2 + 1400х3 + 2200х4≤5600

Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:

-200х1 + 100х2 + 500х3 - 300х4≥0

Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:

100х1 + 90х2 + 120х3 + 160х4≤450

Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:

100х1 + 120х2 + 120х3 + 150х4≤450

Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:

х2 + х3 ≤1

Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т.е.

NPV = 1258,12х1 + 558,68х2 + 22,78х3 + 835,05х4 (max)

1250х1 + 1300х2 + 1400х3 + 2200х4≤5600

-200х1 + 100х2 + 500х3 - 300х4≥0

100х1 + 90х2 + 120х3 + 160х4≤450

100х1 + 120х2 + 120х3 + 150х4≤450

х2 + х3 ≤1

0, если i-й проект не инвестировать

xi =

1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4

Похожие работы: