Контрольная работа : Методы и модели в экономике 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Контрольная работа >> Экономико-математическое моделирование


Методы и модели в экономике




МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача №1

1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады

№1

№2

№1

20 руб.

45 руб.

№2

30 руб.

20 руб.

№3

40 руб.

35 руб.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i

Пункты потребления, j

Объем производства

1

2

3

1

20

45

0

15

2

30

20

0

20

3

40

35

0

30

Объем потребления (спрос)

25

35

5

65

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j

Объем производства

1

2

3

1

20

15

45

-

0

-

15/0

2

30

10

20

10

0

-

20/10/0

3

40

-

35

25

0

5

30/5/0

Объем потребления

25/10/0

35/25/0

5/0

65

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

u1=0

30

10

20

10

0

-

u2=-10

40

-

35

25

0

5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= - 25, u3= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

-35

-25

u1=0

0

0

-15

u2=-10

1=

10

-10

-5

u3=-25

v1=20

v2=10

v3=-25

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31.

-30

10

+20

10

1=

+40

-

-35

25

Θ == 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

u1=0

30

-

20

20

0

-

u2=-5

40

10

35

15

0

5

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

-35

-20

u1=0

-5

0

-15

u2=-5

1=

0

0

0

u3=-20

v1=20

v2=15

v3=-20

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

0100090000032a0200000200a20100000000a201000026060f003a03574d46430100000000000100259c0000000001000000180300000000000018030000010000006c0000000000000000000000350000006f0000000000000000000000f52f0000751d000020454d4600000100180300001200000002000000000000000000000000000000c0120000131a0000cb0000001b010000000000000000000000000000f818030078510400160000000c000000180000000a0000001000000000000000000000000900000010000000520b0000f5060000250000000c0000000e000080250000000c0000000e000080120000000c00000001000000520000007001000001000000a4ffffff00000000000000000000000090010000000000cc04400022430061006c006900620072006900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001100584c110010000000bc4f11003c4d1100e4506032bc4f1100b44c110010000000244e1100a04f11008a4f6032bc4f1100b44c1100200000006a455531b44c1100bc4f110020000000fffffffffc02fe0017465531ffffffffffff0180ffff01802fff0180ffffffff0000000000080000000800004300000001000000000000005802000025000000372e9001cc00020f0502020204030204ef0200a07b20004000000000000000009f00000000000000430061006c0069006200720000000000000000007c4d11000dea5431b0d71132dc501100e84c11001e504d310900000001000000244d1100244d11003d524b31090000004c4d1100fc02fe006476000800000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000180000000c0000000000000254000000540000000000000000000000350000006f0000000100000055558740a0ab87400000000057000000010000004c000000040000000000000000000000540b0000f506000050000000200030003600000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffff530b0000f6060000000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e000080250000000c0000000e0000800e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b0200000000050000000c022001d501040000002e0118001c000000fb020300010000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010000040000002d01000004000000020101001c000000fb02f1ff0000000000009001000000cc0440002243616c6962726900000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010100040000002d010100040000002d010100050000000902000000020d000000320a0e0000000100040000000000d401200120a40900040000002d010000040000002d010000030000000000

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 max

Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

.

б) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).

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

Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 min

Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

.

Ответ: а) Функция z = 3x1 – 2x2 max и равна 21 в точке (7;0).

б) Функция z = 3x1 – 2x2 min и равна - 2 в точке (0;1).

Задача №3

Решить методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .

Решение

Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i

Пункты потребления, j

Объем производства

1

2

3

4

1

6

8

4

2

10

2

5

6

9

8

10

3

4

2

3

8

15

4

0

0

0

0

13

Объем потребления (спрос)

5

8

15

20

48

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

Пункты потребления, j

Объем производства

1

2

3

4

1

6

5

8

5

4

-

2

-

10/5/0

2

5

-

6

3

9

7

8

-

10/7/0

3

4

-

2

-

3

8

8

7

15/7/0

4

0

-

0

-

0

-

0

13

13/0

Объем потребления

5/0

8/3/0

15/8/0

20/13/0

48

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

5

4

-

2

-

u1=0

5

-

6

3

9

7

8

-

u2=2

4

-

2

-

3

8

8

7

u3=8

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

0

7

14

u1=0

-1

0

0

6

u2=2

1=

-6

-2

0

0

u3=8

-10

-8

-5

0

u4=16

v1=6

v2=8

v3=11

v4=16

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14.

- 8

5

4

-

+2

-

+6

3

- 9

7

8

-

1=

2

-

+3

8

- 8

7

0

-

0

-

0

13

Θ == 5. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

-

4

-

2

5

u1=0

5

-

6

8

9

2

8

-

u2=-12

4

-

2

-

3

13

8

2

u3=-6

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

-14

-7

0

u1=0

13

0

0

6

u2=-12

1=

8

-2

0

0

u3=-6

4

-8

-5

0

u4=2

v1=6

v2=-6

v3=-3

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21.

-6

5

8

-

4

-

+2

5

1=

+5

-

6

8

-9

2

8

-

4

-

2

-

+3

13

-8

2

Θ === 2. Возьмем и составим новый план перевозки.

Итерация 3.

Шаг 3.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

0

8

-

u2=1

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=7

0

-

0

-

0

-

0

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).

Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

-1

6

0

u1=0

0

0

0

-7

u2=1

1=

-5

-2

0

-13

u3=7

4

5

8

0

u4=2

v1=6

v2=7

v3=10

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43.

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

6

8

-9

0

8

-

1=

4

-

2

-

3

15

8

-

0

-

0

-

+0

-

-0

13

Θ == 0. Составим новый план перевозки.

Итерация 4.

Шаг 4.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

u1=0

5

2

6

8

9

-

8

-

u2=1

4

-

2

-

3

15

8

-

u3=-1

0

-

0

-

0

0

0

13

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).

Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0

-1

-2

0

u1=0

0

0

-8

-7

u2=1

1=

3

6

0

-5

u3=-1

4

5

0

0

u4=2

v1=6

v2=7

v3=2

v4=2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32.

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

-6

8

-9

-

8

-

1=

4

-

+2

-

-3

15

8

-

0

-

0

-

+0

0

-0

13

Θ == 3. Составим новый план перевозки.

Итерация 5.

Шаг 5.1. Вычисление потенциалов

6

-

8

-

4

-

2

10

u1=0

5

5

6

5

9

-

8

-

u2=-5

4

-

2

3

3

12

8

-

u3=-1

0

-

0

-

0

3

0

10

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

-6

-7

-2

0

u1=0

0

0

-2

-1

u2=-5

1=

-3

0

0

-5

u3=-1

-2

-1

0

0

u4=2

v1=0

v2=1

v3=2

v4=2

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.

Похожие работы: