Реферат : Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при растяжении и сжатии 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Физика


Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при растяжении и сжатии




МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ПОЛТАВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ю. Кондратюка

РЕФЕРАТ

ТЕМА: Внутренние силы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при растяжении и сжатии

Выполнила: студентка V курса

Группа ЕФ145

Михайлова Виктория

Полтава 2009



Под растяжением, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Ðèñóíîê 1

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 15. Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую Р, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаях оказывается единой. Она показана на рис. 15, г.

Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р (рис. 16),

Ðèñóíîê 6

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N. При растяжении нормальная сила N направлена от сечения, а при сжатии — к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типами нагружения могут обнаружиться и качественные различия, как, например, при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.

Ðèñóíîê 7

Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальная сила N является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 17). Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:

Ðèñóíîê 8 (1.1)

где Р — площадь поперечного сечения.

Ðèñóíîê 9

Понятно, что высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо лишь постольку, поскольку из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в связи с условиями его закрепления на концах. Здесь руководствуются правилом, которое принято называть принципом Сен-Венана, по имени известного французского ученого прошлого века. Принцип Сен-Венана является общим, но применительно к стержням он может быть сформулирован следующим образом. Особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Это значит, исключение составляют тонкостенные стержни (см, гл. XI).

Что при изучении растянутого стержня достаточно принимать во внимание только равнодействующую внешних сил Р, не интересуясь особенностями приложения нагрузки. Для этого надо исключить из рассмотрения часть стержня, расположенную в зоне приложения внеших сил. На рис. 15 это как раз и показано. Отбрасывая части стержня, примыкающие к его концам, получаем единую расчетную схему (рис. 15, г), независимо от способа приложения внешних сил.

Ðèñóíîê 70

Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и к особым участкам стержня, содержащим резкое изменение геометрических форм. Например, для ступенчатого бруса, показанного на рис. 18, следует исключить из рассмотрения зону скачкообразного перехода от одного диаметра к другому и зоны, примыкающие к отверстиям. Во всех остальных участках напряжения в поперечных сечениях будут распределены равномерно и определяются по формуле (1.1).

Для однородного, растянутого, нагруженного по концам стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т. е. сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях. Понятие однородного напряженного состояния тесно связано с понятием сплошной среды. Ясно, что распределение внутренних сил в реальных условиях не может быть равномерным из-за неоднородности кристаллических зерен металла и молекулярного строения вещества. Поэтому, когда говорят о равномерном распределении внутренних сил по сечению, имеют в виду распределение без микроскопической детализации в пределах площадок, существенно превышающих размеры сечений кристаллических зерен. Сделанная оговорка относится не только к растяжению и сжатию, но и вообще ко всем другим видам нагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Ðèñóíîê 71

При растяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Так, например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 19, а) напряжения меняются по длине и напряженное состояние не однородно. То же самое имеет место и для стержня, нагруженного собственным весом (рис. 19, б).

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до нагружения стержня его длина была равна /, то после нагружения она станет равнойÐèñóíîê 84(рис. 20).

Величину А называют абсолютным удлинением стержня.



Ðèñóíîê 85

Будем считать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияющие на величину деформаций. Так, например, деформации зависят от температуры и от времени действия нагрузки. Величина неупругих деформаций зависит от «истории» нагружения, т. е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем.

Поскольку у нагруженного стержня (рис. 20) напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформация е по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине l:

Ðèñóíîê 86

Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Если бы в стержне (рис. 20) возникало неоднородное напряженное состояние, деформация в сечении А определялась бы путем предельного перехода к малому участку длиной dz и тогда

Ðèñóíîê 87

Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков аЬ (рис. 20), взятых на участкеÐèñóíîê 128, оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуют плоскость, ТО и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении.

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность междунапряжениями и деформациями:

Ðèñóíîê 129

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. Модуль упругости является физической, константой материала и определяется путем эксперимента. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и а, т. е. в кГ/см2. Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости имеет следующие значения в кГ/см2:

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

Закон Гука является приближенным. Для некоторых материалов, таких, как, например, сталь, он соблюдается с большой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. В некоторых же случаях наблюдаются заметные отклонения от закона Гука. Например, для чугуна и некоторых строительных материалов даже при малых напряжениях закон Гука может быть принят только в грубом приближении. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения

Ðèñóíîê 143

с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной из испытания материала.

Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем о на Ðèñóíîê 144, а е на Ðèñóíîê 145Тогда получим

Ðèñóíîê 146

Абсолютное удлинение стержня на длине l будет равно

Ðèñóíîê 197

В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила N = Р не зависит от г. Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения Р, то из выражения (1.5) получаем

Ðèñóíîê 198

При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжениемÐèñóíîê 199 учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурной деформации:



Ðèñóíîê 200

где а — коэффициент температурного расширения материала.

Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем, очевидно,

Ðèñóíîê 201

Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием к этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и величина а практически не зависит от напряженияÐèñóíîê 202Для стали это имеет место до температуры порядка 300—400° С. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимостьÐèñóíîê 203

Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.

Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 21, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, еслиÐèñóíîê 204Материал — сталь,

Ðèñóíîê 205 Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня не имеет значения.

Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила N в каждом сечении стержня численно равна внешней силе Р. Построим график изменения силы N вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами. Они Дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин. В данном случае эпюра нормальной силы представлена на рис. 21, б прямоугольником, посколькуÐèñóíîê 386На рисунке эпюра N заштрихована линиями, которые проведены в направлении откладываемой на графике величины N. В данном случае значение силы N откладывается вверх, следовательно, штриховка проведена Вертикально.

Ðèñóíîê 387

Для того чтобы получить эпюру напряжений 0, надо ординаты эпюры N изменить обратно пропорционально величине Р (рис. 21, е). Большее значение о равно

Ðèñóíîê 388

Определим, на какую величину и (см) переместится каждое сечение стержня по направлению силы Р. ПеремещениеÐèñóíîê 389сечения равно удлинению отрезка

Длиной Ðèñóíîê 390 Следовательно, согласно формуле (1.6)

Ðèñóíîê 391

Таким образом, на участке измененияÐèñóíîê 392 перемещение и пропорционально г (рис. 21, г). На втором участке стержня перемещение равно

Ðèñóíîê 393

ЗависимостьÐèñóíîê 394также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня

Ðèñóíîê 395

Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 22). Длина стержня Ðèñóíîê 616 площадь поперечного сечения Р, удельный вес материалаÐèñóíîê 618Нормальная сила в сеченииÐèñóíîê 619равна весу нижележащей части стержня: Следовательно, нормальная сила пропорциональнаÐèñóíîê 620Эпюра. А в данном случае штрихуется горизонтальными линиями, поскольку величины N откладываются в горизонтальном направлении. Напряжение в сечении равноÐèñóíîê 621 (см. эпюру на рис. 22).

Ðèñóíîê 622

Перемещение и в сечении г равно удлинению верхнего участка стержня.По формуле (1Ðèñóíîê 623.5). Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией Ðèñóíîê 624 Наибольшее перемещение Ðèñóíîê 625 имеет нижнее торцевое сечениеÐèñóíîê 626

Ðèñóíîê 627

Пример1.3. Колонна (рис.23) нагружена силой Р Ðèñóíîê 628Ðèñóíîê 629Такими силами собственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сеченияÐèñóíîê 630 чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равныÐèñóíîê 631Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

На расстоянии г от торца нормальная сжимающая сила N равна

Ðèñóíîê 632

По условию задачи

Ðèñóíîê 633

откудаÐèñóíîê 1318

Дифференцируя обе часта этого равенства по г, получим Ðèñóíîê 1319Или



Ðèñóíîê 1331

После интегрирования находим

Ðèñóíîê 1320

илиÐèñóíîê 1321

ПриÐèñóíîê 1322следовательно,Ðèñóíîê 1323и тогда искомый закон изменения

площади Г принимает видÐèñóíîê 1324

Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения а, которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис. 23). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны.

Нормальная сила в сеченииÐèñóíîê 1326 равна

Ðèñóíîê 1325

Эпюра Л показана на рис. 2.3.

Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочное™. Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объёма, такую конструкцию называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболее эффективно.



Ðèñóíîê 1327

Пример 1.4. Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р (рис. 24). Требуется подобрать поперечное сечение стержней А В и ВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. При этом уголÐèñóíîê 1328должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейнаÐèñóíîê 1329

Из условий равновесия узла В (рис. 24) находим нормальные силы в стержнях:

Ðèñóíîê 1330

Далее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения о:

Ðèñóíîê 1

Вес конструкции кронштейна пропорционален объему

Ðèñóíîê 2

Подставляя длины и площади стержней, находим



Ðèñóíîê 3

Величина V имеет минимум при

Ðèñóíîê 4



Использованная литература

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. – 8-е изд., стереотип – М.:

Наука. Главная редакция физико –математической литературы, 1979. – 560 с.

Похожие работы: