Реферат : Электрон в слое (работа 2) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Реферат >> Физика


Электрон в слое (работа 2)




Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

 

Государственный университет Молдовы

 

 

 

 

Физический

факультет

Кафедра

теоретической

физики

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая Работа

 

 

Тема: Электрон в слое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Руководитель работы:

 

Климин С.Н.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

 

 

 

 

 

Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.

 

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

 ћ2/(2m)2/x2 U0 , x < a

 

H = ћ2/(2m0)2/x2 , a < x < a

 ћ2/(2m)2/x2 U0 , x > a

 

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.

 

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

 

 2I/x2 2m/ћ2(E U0)I = 0 , x a

 2II/x2 2m0/ћ2EI = 0 , a x a

 2III/x2 2m/ћ2(E U0)I = 0 , x a

 

 

 

Область I :

 

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

 

I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

 

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

 

I(x) = Aexp(nx).

 

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

 

II(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).

 

Функция состояния для третьей области выглядит так :

 

III(x) = Fexp(nx).

Где

k = (2m0E/ћ2)1/2

n = (2m(U0E)/ћ2)1/2.

 

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

  •     Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

  •     В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

  •     Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

 

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

I(x=a) = II(x=a)

II(x=a) = III(x=a)

I(x=a)/m = II(x=a)/m0

II(x=a)/m0 = III(x=a)/m

 

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

 

Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)

m1A nexp(na) = ik/m0(Cexp(ika) Dexp(ika))

Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)

ik/m0(Cexp(ika) Dexp(ika)) = n/mFexp(na).

 

Теперь составим определитель :

 

|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |

|m1nexp(na) 1/m0ikexp(ika) 1/m0ikexp(ika) 0 |

|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |

|0 1/m0ikexp(ika) 1/m0ikexp(ika) 1/mnexp(na)|

 

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

 

((n/m)2 (k/m0)2)Sin(2ka) + 2kn/(mm0)Cos(2ka) = 0.

 

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

 

C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m0 n/m)/(n/m + ik/m0)}

D = Cexp(2ika)( ik/m0 n/m)/(n/m + ik/m0)

A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

 

A = RAF

C = RCF

D = RDF.

RA, RC, RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

 

I(x) = FRAexp(nx)

II(x) = F( RCexp(ikx) + RDexp(ikx)).

III(x) = Fexp(nx).

I1 + I2 + I3 = 1

Где

I1 = F2RA2exp(2nx)dx = F2RA2(2n)1exp(2nx) =

= F2RA2(2n)1exp(2na)

I2 = F2{ RC2dx + RD2dx + RCRD*exp(2ikx)dx +

+ RC*RDexp(2ikx)dx } = F2{ 2a(RC2 + RD2) +

((exp(2ika) exp(2ika))RCRD*/(2ik) +

+ i((exp(2ika) exp(2ika))RC*RD/(2k) }

I3 = F2exp(2nx)dx = F2(2n)1exp(2na)

F2 = { RA2(2n)1exp(2na) + 2a(RC2 + RD2) +

((exp(2ika) exp(2ika))RCRD*/(2ik) +

+ i((exp(2ika) exp(2ika))RC*RD/(2k) + (2n)1exp(2na) }1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

 

Электрон в слоях

 

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

 

 

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

 

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

 

2/x2 2m/ћ2(E U0) = 0

 

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

 

= exp(i 2ak)

 

Тогда (x+2ma) = (x)m , где m=0, 1, 2,... (2)

 

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

 

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

 

2I/x2 2m2/ћ2(E U0)I = 0 , 0 > x > a

 

его решение выглядит просто:

 

I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

 

Где n = (2m2 (U0-E) /ћ2)1/2

 

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

 

2II/x2 2m1/ћ2E II = 0 , a x 0

 

его решение выглядит просто:

 

II(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).

 

Где p = (2m1E/ћ2)1/2

 

Рассмотрим область III:

 

2III/x2 2m2/ћ2(E U0)III = 0 , 2a > x > a

 

его решение выглядит просто:

 

III(x) = (Aexp(nx) + Bexp(nx)).

Запишем граничные условия:

 

I(x=0) = II(x=0)

II(x=a) = III(x=a)

I(x=0)/m = II(x=0)/m0

II(x=a)/m0 = III(x=a)/m

 

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

 

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

 

|1 1 1 1 |

|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |

|n/m2 n/m2 ip/m1 ip/m1 |

|n/m2exp(ik2ana) n/m2exp(ik2ana) ip/m1exp(ipa) ip/m1exp(ipa) |

 

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

 

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

 

 

a=10; U=10; m1=4; m2=1

0.1135703312666857

0.6186359585387896

0.2019199605676639

0.3155348518478819

0.05047267055441365

1.263391478912778

0.4544326758658974

2.137353840637548

0.808172718170137

2.479933076698526

0.4544326758658974

6.168062551132728

5.611693924351967

1.820461802850339

1.529165865668653

1.023077302091622

 

 

 

a=10 U=10 m1=2 m2=1

0.1032788024178655

0.2324238959628721

0.41331603936642

0.6460490460448886

0.930750939555283

1.26759057783714

1.656787195799296

2.098624192369327

 

2.593469359607937

3.141805331837109

 

3.744277072860902

5.887485640841992

 

a=10 U=10 m1=1 m2=1

 

0.05408120469105441

0.2163802958297131

0.4870681554965061

0.86644533469418

1.354969224117534

1.953300729714778

2.662383817919513

4.418966218448088

7.961581805911094

 

a=10 U=10 m1=0.5 m2=1

 

0.118992095909544

4.249561710930034

1.068004282376146

0.4754473139332004

5.78216724725356

2.955345679469631

1.895012565781256

 

 

 

 

a=10 U=10 m1=.25 m2=1

 

0.2898665804439349

4.30026851446248

2.479039415645616

1.132264393019809

 

Похожие работы: