Доклад : Математическая логика (работа 3) 


Полнотекстовый поиск по базе:

Главная >> Доклад >> Философия


Математическая логика (работа 3)




Математическая логика

Вадим Руднев

Ее еще называют символической логикой. Математическая логика - это та же самая Аристотелева силлогистическая логика, но только громоздкие словесные выводы заменены в ней математической символикой. Этим достигается, во-первых, краткость, во-вторых, ясность, в-третьих, точность. Приведем пример. Известный силлогизм. Большая посылка: "Все люди смертны". Малая посылка: "Сократ - человек". И вывод: "Следовательно, Сократ смертен". Мы можем заменить имена "Сократ", "человек" и свойство "быть смертным" буквами, соответственно С, х и у. Слово "все" называется квантором всеобщности - о нем мы скажем ниже. Оно обозначается так называемой гротесковой перевернутой буквой А:

У *

Итак, запишем символически большую посылку: *

У(х)(у), то есть для всех индивидов х соблюдается свойство у - все люди смертны. Теперь запишем символически малую посылку С(х), то есть индивид С обладает свойством х, - Сократ смертен. И вывод: С(у), то есть индивид обладает свойством у. Сократ смертен. Теперь запишем весь силлогизм в виде импликации (логического следования): *

У (х)(у)аС(х)->С(у)

То есть, "если все люди смертны и Сократ человек, то Сократ смертен". Если записывать словами, то надо использовать более 60 символов (букв), а если символически, то нужно всего 12 символов, в 5 раз меньше. Если нужно решать сложную задачу, экономия становится очевидной.

Так или иначе, но только в конце ХIХ в. немецкий логик Готтлоб Фреге сформулировал символическое исчисление, и лишь в начале XХ в. Бертран Рассел и Альфред Уайтхед в трехтомном труде "Principia Mathematica" построили стройную систему математической логики.

В М. л. два типа символов - переменные, которые обозначают объекты, свойства и отношения; и связи, символизирующие логические отношения между предметами и высказываниями. Для наших целей достаточно различать следующие связки:

а - конъюнкция, соединение; читается как союз "и", во многом соответствует ему по смыслу; *

У - дизъюнкция, разделение; читается как союз "или";

-> - импликация, следование; "если... то...";

~ - отрицание; "неверно, что...";

= - эквивалентность; "то же, что и..."

В основе любой логической системы лежат несколько недоказуемых очевидных аксиом, так называемых законов логики. В обычной двузначной логике, то есть в такой логике, высказывания которой имеют два значения (истина и ложь), выделяют четыре основных закона.

1. Закон тождества: р = р; то есть любое высказывание эквивалентно самому себе. Тождество объекта самому себе - вообще исходное начало для любого мышления. Но не во всякой логике это является законом. Например, в контексте алетических модальностей (см. модальности) мы можем сказать: "Возможно, что дождь идет" и "Возможно, что дождь не идет" - и это не будет противоречием. В обычной логике пропозиций предложения "Идет дождь" и "Не идет дождь" будут противоречиями.

2. Закон двойного отрицания: р = ~~р; то есть утверждение эквивалентно его двойному отрицанию. "Дождь идет" = "Наверно, что Дождь не идет".

3. Закон исключенного третьего: *

(р У ~р); то есть либо высказывание истинно, либо оно ложно - третьего не дано (применимость закона исключенного третьего ограничена конечными множества объектов; см. об этом многозначные логики).

4. Закон противоречия: ~(р а ~р); то есть неверно, что высказывание может быть одновременно истинным и ложным.

Следует ввести еще два понятия, одно из которых мы уже ввели в самом начале статьи. До сих пор мы говорили о высказывании как о чем-то нерасчлененном, но у высказывания есть субъект и предикат. Часть М. л., занимающаяся отношениями между субъектом и предикатом высказываний, называется теорией квантификации. Свойство или отношение, которое выражает предикат, может быть присуще всем субъектам данного множества или только некоторым из них. Например, высказывание "Собаки бывают черными" означает, что некоторое количество собак из всего множества собак имеет свойство "быть черным". Символ, на который мы заменим слово "некоторые", называется квантором существования, или экзистенциальным квантором, и обозначается гротесковой обращенной буквой *

Е 3 *

3 (х)(у) - некоторые собаки черные.

Но существуют свойства, характерные для всех собак. Например, у всех собак (разумеется, живых) есть голова. Символ, на который мы поменяем слово "все", это уже известный нам квантор всеобщности, или универсальный квантор: *

У(х)(у) - все собаки по природе обладают головой.

В заключение сформулируем основной закон квантифицированной логики: * У(х)(у) ->3 (х,у)

То есть если данным свойством обладают все объекты, то им обладают и некоторые объекты. Кажущаяся тривиальность законов логики оправдывается дальнейшим ходом мышления. Как писал Людвиг Витгенштейн, "Если вы знаете, что у вас есть руки, дальнейшее гарантируется".

Список литературы

Клини С. Математическая логика. - М., 1974.

Черч А. Введение в математическую логику. - М., 1959.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://lib.ru/

Похожие работы:

  • Математическая логика. Язык SQL

    Реферат >> Информатика, программирование
    Математическая логика. Язык SQL Выполнил Романов А.Н. ... может сильно различаться в разных системах. Математические функции и средства работы с датами ... а не на управление вычислениями, его математический инструментарий довольно ограничен. Впрочем, перечень ...
  • Математическая логика и теория алгоритмов

    Реферат >> Математика
    Математическая логика и теория алгоритмов Содержание. Постановка задачи. ...
  • Математическая логика

    Контрольная работа >> Математика
    ... математик, который считается основоположником математической логики. Математическая логика – это раздел математики, посвященный ... техники. 1. Элементы математической логика Основными разделами математической логики являются исчисление высказываний и ...
  • Математическая Логика

    Реферат >> Математика
    1 Конспекты лекций по математической логике. Теория алгоритмов 1.1 Различные подходы к определению ... целиком лежит в ч.т.д. Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем Создал ...
  • Математическая логика и логика здравого смысла

    Реферат >> Математика
    ... , или классической логики; 2. символической, или математической логики; 3. неклассической логики. Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла» Математическая логика понятие достаточно ...
  • Математическая логика в младших классах

    Реферат >> Педагогика
    ... изучение элементов алгебры и математической логики.» § 1. История возникновения математической логики и алгебры. § 2. Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях ...
  • Математическая философия Природы

    Статья >> Наука и техника
    ... в классическом примере из математической логики. Возьмем два противоположных суждения ... описывать это Царство логическими, математическими, социологическими, философскими, психологическими ... тремя лучами бытия, из математической логики известно, что в ...
  • Математические суждения и умозаключения

    Доклад >> Математика
    ... древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика ... в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя ...
  • Элементы математической логики

    Статья >> Математика
    ... , если в комнате сидит тигр. Математическая логика Вышеизложенная логика хорошо описывает законы человеческого мышления ... понятий математической логики. С другой стороны, те результаты, которые мы получаем, методами математической логики являются ...
  • Логика как наука

    Учебное пособие >> Философия
    ... , формальная логика, индуктивная логика, математическая логика, диалектическая логика. Причины и условия зарождения логики. Важнейшей причиной зарождения логики является ...